Признаки сходимости для рядов с положительными членами.
Как и в случае несобственных интегралов, важнейшим элементом теории числовых рядов является следующий: надо, не вычисляя ряда, ответить на вопрос, сходится он или нет. В конце концов, если он сходится, то его можно вычислить численно на ЭВМ, а вот если он расходится - попытки сосчитать его численно ни к чему хорошему не приведут.
В данном разделе будут
Рассмотрены признаки сходимости рядов с положительными членами. Итак, пусть даны два ряда и и выполнено условие и .
Теорема 1. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство. Имеем: и поэтому с ростом п . По теореме о существовании предела монотонно возрастающей последовательности, для существования конечного необходимо и достаточно,
. <
Теорема 2. Пусть даны два ряда (ряд А) и (ряд В) с положительными членами и выполнено условие . Тогда из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А - расходимость ряда В.
Доказательство.
1. Пусть ряд В сходится Þ . Но Þ ряд А сходится.
2. Пусть ряд А расходится. Так как в этом случае , то это означает, что . Но так как , то и поэтому и ряд В расходится. <
Замечание. Так как Отбрасывание или изменение конечногочисла членов ряда не изменяет его сходимости, то условие может выполняться лишь .
Дата добавления: 2019-07-26; просмотров: 129;