Интегральный признак Коши

Отсутствие универсального ряда для построения признака сходимости не означает, конечно, что не может быть других принципов для построения признаков сходимости числовых рядов. ниже будет разобран достаточно оригинальный признак сходимости, называемый интегральным признаком Коши.

Пусть функция

1. определена на промежутке ;

2. монотонно убывает и .

Рассмотрим ряд вида , то есть слагаемые этого ряда имеют вид .

Теорема. При указанных выше ограничениях ряд сходится одновременно с несобственным интегралом .

Доказательство.

1. Основное неравенство.

Обозначим . Так как , то . далее имеем

.

В силу монотонного убывания

,

и поэтому в данном случае

.

Это неравенство мы условно будем называть основным неравенством.

2. Пусть интеграл сходится. Это значит, что . Но тогда имеем

.

Переходя к пределу , получаем, что , откуда и следует, что ряд сходится. Возникающая ситуация видна на прилагаемом рисунке: сумма площадей прямоугольников, каждый из которых равен одному слагаемому ряда, меньше площади, ограниченной функцией и осью абсцисс.

3. Пусть ряд сходится.

Тогда имеем

,

то есть .

Переходя к пределу , получаем, что , откуда и следует, что интеграл сходится. Возникающая ситуация видна на прилагаемом рисунке: площадь, ограниченная функцией и осью абсцисс, меньше суммы площадей прямоугольников, каждый из которых равен одному слагаемому ряда. <