Простейшие свойства сходящихся рядов

Числовые ряды. Определения

Пусть дана последовательность вещественных чисел . Образуем новую последовательность по правилу

; ; ; … ; .

Эти величины называются частными суммамичислового ряда, а слагаемое называют общим членомряда.

Рассмотрим теперь . Он называется числовым рядоми обозначается символом

.

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что числовой ряд сходится, а само значение предела, то есть величину А, называют суммойчислового ряда. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что числовой ряд расходится(так как в данной главе других рядов не будет, то слово «числовой» мы будем опускать).

Обратите внимание на одну деталь: индекс суммирования в знаке бесконечной суммы может быть любым, то есть

,

от этого ничего не меняется. Как говорят, индекс суммирования является немым индексом,то есть он может быть обозначен любой буквой.

Величина

называется остатком ряда после n-го слагаемого.Его можно записать и так:

.

Простейшие свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.

Доказательство.

Имеем:

- частная сумма исходного ряда и

- частная сумма остатка ряда после п-го слагаемого. Очевидно, что между этими величинами имеет место соотношение

Если ряд сходится Þ Þ Þ остаток ряда после п-го слагаемого.

Далее, , и поэтому

Если сходится остаток ряда после п-го слагаемого Þ Þ Þ исходный ряд сходится.

Обратите внимание на важное для дальнейшего соотношение .

Следствие. Отбрасывание или изменение конечногочисла членов ряда не изменяет его сходимости.

2. Если ряд сходится, то .

Действительно, из соотношения получаем

.

3. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Действительно, из определения частных сумм легко видеть, что . Поэтому

Следствие. (важно!)Признак расходимостиряда.

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

4. Если ряд сходится, то ряд тоже сходится и верно соотношение

. Действительно, для частных сумм наших рядов имеем

;

Делая предельный переход , получаем

.

5. Если ряды и сходятся, то ряд тоже сходится и верно соотношение

.

Действительно, из определения частных сумм рядов получаем

; ; .

Отсюда видно, что между частными суммами рядов верно соотношение

.