МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ

В инженерной практике часто ставится задача определения оптимальных значений параметров системы, структура и дифференциальные уравнения которой заданы. Такая задача обычно решается при расчете параметров оптимальной настройки регуляторов. При этом могут быть использованы уравнения Эйлера–Лагранжа (или Эйлера-Пуассона), уравнения Риккати, а также частотные методы и др.

Математически задачу определения параметров оптимальной настройки системы можно сформулировать следующим образом: заданы дифференциальные уравнения состояния системы

; , (3.186)

где ; ; – матрица, элементы которой зависят от искомых параметров настройки системы ( – коэффициенты уравнения объекта); X, u– векторы координат состояния и управлений;

требуется определить оптимальные значения параметров системы из условия экстремума выбранного критерия качества.

В ряде практических задач коэффициенты и заданы и требуется определить коэффициенты .

Если рассматривается критерий качества в виде интеграла с квадратичной подинтегральной функцией , то для определения искомых можно использовать уравнения вариационной задачи или уравнение Риккати. В тех случаях, когда рассматривается крите­рий качества в виде функции нескольких переменных (представляю­щих собой искомые параметры): , для определения можно использовать методы поиска экстремума функции несколь­ких переменных и частотные методы.

Расчет по уравнениям вариационной задачи.Известно, что для линейных одномерных объектов, динамика которых описывается ли­нейным дифференциальным уравнением вида

(3.187)

при квадратичном функционале критерия качества

(3.188)

оптимальное управление, доставляющее минимум интегралу (3.188), является линейной функцией координат состояния [7], поэтому

3.189)

где – коэффициенты обратных связей регулятора.

Если равенство (3.189) подставить в (3.187), то получим уравне­ние объекта, выраженное через координаты объекта и параметры ре­гулятора :

. (3.190)

На основании (3.190) запишем характеристический полином системы F (р), и найдем сопряженный полином F (-р) после чего составим уравнение

F° (р) = F(p)F(-р). (3.191)

На основании (3.187) и (3.188) запишем функцию Лагранжа

(3.191)

и уравнения вариационной задачи: уравнения Эйлера – Пуассона типа (3.61) для у и и уравнения (3.187). Из уравнений вариационной задачи получим уравнение

, (3.193)

где П – знак произведения, подобное уравнению (3.191).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в урав­нениях для F°(p) и , получим алгебраические уравнения отно­сительно неизвестных коэффициентов . Решение их позволяет найти искомые оптимальные параметры регулятора .

Расчет по уравнениям Риккати.Матрицу оптимальных парамет­ров регулятора . с можно определить по заданным уравнениям со­стояния (3.186) с использованием матричного уравнения Риккати, основываясь на методе принципа максимума. Для линейных объектов уравнение (3.114) можно записать в виде (3.186), а минимизируемый квадратичный функционал в общем случае представить в виде

(3.194)о

где и – матрицы, элементы которых и .

Известно, что вектор координат оптимальных управлений, достав­ляющих минимум интегралу (3.194), является линейной функцией координат состояния [см. (3.186)].

Функция Гамильтона, определяемая выражением (3.121), в данном случае при будет иметь вид

(3.195)

При оптимальном управлении

,

или

,

откуда оптимальное управление

. (3.196)

Управление (3.196) обеспечивает максимум гамильтониана (3.195), так как при положительно определенной матрице R

,

Используя (3.195) и (3.196), запишем канонические уравнения:

(3.197)

Для определения оптимального управления (3.196) необходимо из уравнений (3.197) найти вектор вспомогательных функций W (см. § 3.6).

Однако в данном случае можно не производить интегрирование уравнений (3.197), а использовать уравнение Риккати, что позволяет упростить решение задачи.

Рассмотрим способ получения уравнения Риккати. В общем случае можно записать уравнение

(3.198)

дифференцируя которое, найдем

(3.199)

где – матрица неизвестных коэффициентов размерности (пхп):

Подставив (3.198) в уравнения системы (3.197), получим:

(3.200)

Если подставить в (3.199) вместо первое уравнение системы (3.200), то запишем

(3.201)

Приравнивая правые части уравнения (3.201) и второго уравнения (3.200), получим матричное дифференциальное уравнение

(3.202)

называемое уравнением Риккати. Решение уравнения (3.202) опреде­ляет матрицу , подставляя которую в (3. 198) и учитывая (3.196), получим выражение для оптимального управления

(3.203)

Для полностью управляемых объектов с постоянными во времени параметрами при [см. (3.194)] и , поэтому оптимальное управление принимает форму

, (3.204)

откуда

, (3.205)

где – положительно определенная симметричная матрица размер­ности (пxп), состоящая из постоянных коэффициентов (при ), определяемая уравнением (3.202) с учетом и :

(3.206)

Оптимальное управление (3.204) минимизирует квадратичный функционал (3.194) для объектов с постоянными параметрами и . Таким образом, для определения оптимальных парамет­ров регулятора необходимо найти матрицу и подставить в (3.205). Для объектов с переменными параметрами, а также с постоянными параметрами при конечной величине необходимо определять матрицу К(t). Основная трудность решения такой задачи состоит в том, что уравнение (3.202) является нелинейным дифференциальным матричным уравнением, для интегрирования которого требуется при­менение вычислительных машин. В этом случае регулятор будет иметь переменные параметры, т. е. .