Критерий Ходжа-Лемана

Критерий основан на минимаксном критерии и критерии Байеса — Лапласа, характеризуется тем, что с помощью параметра выражает степень доверия к используемому распределению вероятностей. При V = 1 критерий переходит в критерий Байеса — Лапласа, а при V = 0 — в минимаксный критерий. Ситуация, в которой рекомендовано применение этого критерия, характеризуется следующими условиями: вероятности появления состояний неизвестны, но некоторые предположения о распределениях вероятностей возможны; принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций: при малых числах реализации допускается некоторый риск.

Пример 5. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Ходжа-Лемана , если вероятности состояния системы принятия решений неизвестны. При решении задачи учесть, что степень доверия к позиции крайней осторожности на процесс принятия решения должна быть не более 0,4.

По условию - это степень доверия к позиции крайней осторожности Z_MM, или вероятность (коэффициент) возникновения минимаксного критерия, описанного в первой задаче Z_MM.

Возьмем , тогда - это степень доверия к позиции критерия Байеса-Лапласа Z_BL, описанного во второй третьей задаче.

Критерий Ходжа-Лемана Z_HL можно представить в виде:

Z_HL= Z_BL+ Z_MM, а в этой задаче с коэффициентами, Z_HL= vZ_BL+ (1-v)Z_MM

Далее, по условию, вероятности состояния системы принятия решений неизвестны, т.е. по заданной матрице видно: вероятностей четыре (четыре строки), тогда предположим, что вероятности равноценны. Известно, что сумма всех возможных вероятностей равна 1.

→

Решение (считается построчно):

а.) Каждый элемент строки умножается на вероятность

б.) Всё складывается и умножается на 0.6

г.) К полученным значениям прибавляется произведение минимального элемента строки на коэффициент 0,4

Вычисление:

д.) Выбирается максимальное значение дополнительного столбца (max) – это и есть ответ.

Ответ:

Критерий Гурвица

Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предположил оценочную функцию, которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма:

где С — весовой множитель.

Правило выбора согласно критерию Гурвица, формируется следующим образом: Матрица решений дополняется столбцом, содержащим среднее взвешенное наи- меньшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбираются только те варианты, в строках которых стоят наибольшие элементы eir этого столбца. При C = 1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий.

При C = 0 он превращается в критерий “азартного игрока”, то есть делает ставку на то, что «выпадет» наивыгоднейший случай. В технических приложениях сложно выбрать весовой множи- тель C, т.к. трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего пола- гают C = 1 2 .

Критерий Гурвица применяется в случае, когда :

1) О вероятностях появления состояния Πj ничего не известно.

2) С появлением состояния Πj необходимо считаться.

3) Реализуется только малое количество решений.

4) Допускается некоторый риск.

Пример 6. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Гурвица Z_HW. При решении задачи учесть, что степень доверия к позиции крайней осторожности Z_MM должна быть не более 0.3.

По условию - это степень доверия к позиции крайней осторожности Z_MM, или вероятность (коэффициент) возникновения минимаксного критерия, описанного в первой задаче Z_MM.

Возьмем , тогда - это степень доверия к позиции критерия азартного игрока Z_AG

Критерий Гурвица Z_HW можно представить в виде:

Z_HW= Z_MM+ Z_AG, а в этой задаче с коэффициентами Z_HW= cZ_MM+ (1-c)Z_AG

Решение (считается построчно):

а.) Минимальный (min) элемент строки умножается на 0.3 а максимальный элемент строки умножается на 0.7

б.) Результаты умножений складываются и записываются в дополнительный столбец

Вычисление:

e_1r=(-3)*0.3+7*0.7=4

e_2r=(-1)*0.3+6*0.7=3.9

e_3r=(-3)*0.3+11*0.7=6.8

e­_4r=1*0.3+7*0.7=5.2

г.) Выбирается максимальное значение дополнительного столбца (max) – это и есть ответ.

Ответ:

Критерий Гермейера

Отправляясь от подхода Гермейера к отысканию эффективных и пригодных к компромиссу решений в области полиоптимизации – т.е. всех решений, которые не считаются заведомо худшими, чем другие, – можно предположить еще один критерий, обладающий в некотором отношении определенной эластичностью. Он с самого начала ориентирован на величины потерь, т.е. на отрицательные значения .

В качестве оценочной функции выступает

Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие <0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования - а при подходящим образом подобранном >0.

Правило выбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом:

Матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния . Выбираются те решения , в строках которых находится наибольшее значение этого столбца.

Пример 7. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Гермейера при вероятности состояния системы принятия решений:

При использовании критерия Гермейера для расчёта должна получиться матрица, в которой все элементы имеют отрицательное значение.

В исходной матрице максимум это 94, поэтому из каждого элемента вычитается любое большее число, например, 95.

Получается матрица остатков:

Уже заданную вероятность умножаем элементы матрицы.

Вычисление:

Полученные ответы сравниваются, из них выбираются минимальные значения, которые записываются в дополнительный столбец матрицы остатков.

Из дополнительного столбца выбирается максимальное (max) значение – это и есть ответ.

Ответ: .

Пример 8. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Гермейера Z_G при следующем распределении вероятностей состояния системы принятия решений: q₁=0.3, q₂=0.25, q₃=0.25, q₄=0.2

При использовании критерия Гермейера Z_G для расчёта должна получится матрица, в которой все элементы имеют отрицательное значение.

В исходной матрице максимум это 11, поэтому из каждого элемента вычитается любое большее число, например, 12.

Получается матрица остатков

Далее вероятности q₁=0.3 умножаем на числа 1 столбца, q₂=0.25 умножаем на числа 2 столбца, q₃=0.25 на 3 столбец и q₄=0.2 на 4 столбец.

Вычисление:

Полученные ответы сравниваются, из них выбираются минимальные значения, которые записываются в дополнительный столбец матрицы остатков.

Из дополнительного столбца выбирается максимальное (max) значение – это и есть ответ.

Ответ: