Использованием порождающей матрицы

Кодовая последовательность ЦК при заданной порождающей матрице G_k,n(x) и заданном информационном блоке Q(x) формируется по правилу , т. е. произведения вектора-строки Q(x), содержащего k информационных двоичных символов, на порождающую матрицу G(x) размером k×n. При этом, если используется каноническая (приведенно-ступенчатая) G(x), то будут формироваться кодовые последовательности систематического разделимого ЦК. Порождающая матрица G(x) строится довольно просто, если задан образующий полином Р(х) и длина кодовой последовательности п.

Пример: Сформировать кодовую последовательность ЦК с параметрами , если , Q(x)=x+1.

Переводим Р(х) из записи в форме полинома в двоичную форму записи, т.е. Далее формируем первую строку порождающей матрицы G_5,10(х) следующим образом: двоичную последовательность 110101 дополняем справа четырьмя нулями; в результате получаем разрешенную кодовую последовательность вида 1101010000 длиной n=10 двоичных симво­лов. Следующий шаг - выполнение (k-1)=(5-l)=4 циклических сдвига двоичных символов первой строки G(x).

В результате получаем следующую порождающую матрицу

F(x)=Q(x)*P(x)=(x+1)(x⁵+x⁴+x²+1)=x⁶+x⁵+x³+x+x⁵+x⁴+x²+1=x⁶+x⁴+x³+x²+x+1 (0001011111)

или

1101010000

F(x)=Q(x)*G_5,10(x)=00011* 0011010100 = 0001011111

Пример: Рассмотрим способ формирования кодовых последовательностей ЦК с использованием единичной матрицы и остатков от деления

Для рассмотрения сущности формирования кодовых после­довательностей ЦК используем данные предыдущего примера.

Так как k = 5, то используем следующие единичные векторы:

Записываем Q₁(x)...Q₅(x) в виде единичной подматрицы размером (5x5).

Далее определяем проверочные символы: каждой строки по сле­дующей методике: делим и берем остатки от деления для первой строки – от первого такта деления, т.е. R₁(x), для второй строки – после двух тактов деления, т. е. R₂(x) и т. д. Полученные символы дописываем к соответствующим строкам единичной подматрицы:

10000 10101

01000 11111

F(x)=Q(x)*G_5,10(x)=00011* 00100 01011 = 0001110000

00010 00011

00001 10011