Основные параметры помехоустойчивых кодов

Помехоустойчивое кодирование – процесс введения избыточной информации в передаваемое информационное сообщение. В сформированной кодовой последовательности должны быть информационные символы и некоторые дополнительные (проверочные) символы, т.е. помехоустойчивое кодирование является избыточным.

Помехоустойчивый код – конечное множество кодовых последовательностей, построенных по одному и тому же алгоритму.

Помехоустойчивый код характеризуют следующими параметрами:

1. Основание кода q – число элементарных символов, выбранных для пе­редачи сообщений. Например, для двоичного и троичного кода q₂={0;1}, q₃={-1;0;1}.

2. Длина кода n – число символов, выбранных для передачи сообщений.

3. Число информационных позиций в коде, выбранных для передачи дан­ных – k.

4. Число проверочных (контрольных) позиций в коде – l=n-k.

5. К_общ=2ⁿ – общее количество кодовых последовательностей,

К_раз=2^к – количество разрешенных кодовых последовательностей,

К_запр=2¹ – количество запрещенных кодовых последовательностей.

6. Скорость передачи кода R=k/n характеризует качество кода.

7. Относительная избыточность кода r=(n-k)/n*100%=(1-R)*100%

Абсолютная избыточность кода l=n-k

8. Вес кодовой последовательности w – количество ненулевых значений позиций кодовой комбинации F(x). Например, F(x)=011101101 Þ w=6 двоичных символов.

9. Кодовое расстояние кода d характеризует возможности кода по контролю ошибок, равно количеству несовпадений в кодовых последовательностях.

F₁(x)=0111011101

Å F₂(x)=1011010010

d =11 1111=6

Хэмминг доказал, что не максимальное, а минимальное кодовое расстояние характеризует корректирующие свойства помехоустойчивого кода. Минимальное кодовое расстояние обозначается как d₀ или d_x (хэмминговое расстояние) и равно наименьшему значению d из всей их совокупности. Cпозиции теории кодирования d_x показывает, сколько символов в кодовой последовательности надо исказить, чтобы перевести ее в другую кодовую последовательность.

Определены как нижние, так и верхние границы значений d_x:

- нижние границыустанавливают факт существования помехоустойчивых кодов с таким значением d_x;

- верхние границы определяют максимальное теоретическое значение d_x.

Нижняя граница Хэмминга определяется по формуле:

l ≥ log₂(1+n+C_n²+…+C_n^tиспр) Þ 2^l ≥ 1+n+C_n²+…+C_n^tиспр

10. Кратность контролируемой ошибки t (t_обн или t_испр).

d₀=2t_испр+1 Þ t_испр=(d₀-1)/2 – количество ошибочных символов, которое может исправить помехоустойчивый код,

d₀=t_обн+1 Þ t_обн=d₀-1 – количество ошибочных символов, которое может обнаружить помехоустойчивый код.

Для того, чтобы помехоустойчивый код исправлял tиспр ошибок и обнаруживал to6н ошибок необходимо, чтобы d0≥ tиспр + tобн +1

11. Вероятность ошибки декодирования

n

Р_ош.дек.=åС_nⁱ×P_kⁱ×(1-P_k)^n-I,

i=t_испр.

– число сочетаний, P_k – вероятность ошибки в канале связи.

На практике коды, как правило, обозначают (n;k) или (n;k;d). Например, обозначение (7;4) или (7;4;3) характеризует блоковый код Хэмминга длиной n=7, числом информационных позиций k=4, кодовым расстоянием d=3.