Локальная и интегральная теоремы Муавра- Лапласа

В тех случаях, когда число испытаний п велико, а вероятность р не близка к нулю (р≠0, р≠1), для вычисления биномиальных вероятностей используют теоремы Муавра-Лапласа. В силу сложности доказательства, приведем только их формулировки.

Теорема 4.3 (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность может быть вычислена по приближенной формуле:

, где .

(4.8)

Равенство тем точнее, чем больше n.

Выражение

(4.9)

называется функцией Гуасса, а ее график – кривой вероятности(рис 4.2).

Рис. 4.2.

Равенство (4.8) можно переписать в виде:

, где .

(4.10)

Для функции составлены таблицы значений (они находятся, как правило, в так называемая «Приложениях» книг по теории вероятностей). Пользуясь таблицей, следует учитывать, что:

а) функция четная, т. е.

б) при х ≥ 4 можно считать, что .

Пример 4.4.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение:

Здесь , , , . Применим формулу (4.10).

Имеем

,

следовательно,

.

Учитывая, что , получаем

.

Теорема 4.4. (Интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность может быть найдена по приближенной формуле:

, где , .

(4.11)

Используя функцию Гаусса (4.9), равенство можно записать в виде:

.

Однако, для упрощения вычислений вводят специальную функцию:

,

(4.12)

называемую нормированной функцией Лапласа.

Функция (4.12) нечетна

,

при х≥5 можно считать, что .

Если выразить правую часть равенства (4.11) через функцию Лапласа (4.12), тот равенство (4.11) примет вид

, где , .

(4.13)

Наряду с нормированной функцией Лапласа используют функцию:

,

(4.14)

называемую также функцией Лапласа . Для нее справедливо равенство ; она связана с функцией формулой:

.

(4.15)

Приближенную формулу для вычисления вероятности (4.11) можно записать в виде

, где , .

(4.16

Пример 4.5. Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха. Если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия изделий бракуется, т.е. возвращается в цех. Какова вероятность того, что партия будет принята?

Решение:

Здесь , (вероятность негодного изделия), . Вероятность принятия всей партии, т.е. , можно найти по формуле (4.16); здесь . Находим, что

, ,

.

Заметим, что .