Предельные теоремы в схеме Бернулли

Схема Бернулли

С понятием «независимых событий» связано понятие «независимых испытаний» (опытов).

Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые события (независимые в совокупности).

Другими словами, если проводится несколько испытаний, т.е. опыт выполняется при данном комплексе условий многократно (такое явление называется «последовательностью испытаний»), причем вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Примерами независимых испытаний могут служить: несколько (n раз) подбрасываний монеты; стрельба (n раз) по мишени без поправок на ранее допущенную ошибку при новом выстреле; несколько выниманий из урны одинаковых на ощупь занумерованных шаров, если шары каждый раз (после просмотра) возвращаются назад в урну, и т.д.

При практическом применении теории вероятностей часто используется стандартная схема, называемая схемой Бернулли или схемой независимых испытаний.

Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (его называют успехом) с вероятностью Р(А)=р или противоположное ему событие (его называют неудачей) с вероятностью называется схемой Бернулли.

Формула Бернулли

Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m, раз (0 ≤m≤n). Обозначается искомая вероятность так: Р_n(m) или Р_n,m или Р{µ_m=m}, где µ_m - число появления события А в серии из n опытов.

Пример 4.1.При бросании игральной кости 3 раза означает вероятность того, что в 3-х опытах событие А - выпадение цифры 4 - произойдет 2 раза. Очевидно,

.

Теорема 4.1.Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а вероятность его непоявления равна , то вероятность того, что событие А произойдет m раз определяется формулой Бернулли

, .

(4.1)

Доказательство. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что событие А в n независимых опытах появится m раз в первых m опытах и не появится (n-m) раз в остальных опытах (это событие ) по теореме умножения вероятностей равна . Вероятность появления события А снова m раз, но в другом порядке (например, ) будет той же самой .

Число таких сложных событий - в n опытах m раз встречается событие А в различном порядке - равно числу сочетаний из n по m, т.е. . Так как все эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий, т.е.

, .

(4.2)

Можно заметить, что вероятности , являются коэффициентами при в разложении по формуле бинома Ньютона:

.

(4.3)

Поэтому совокупность вероятностей называют биномиальным законом распределения вероятностей, а функцию - производящей функцией для последовательности независимых опытов.

Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события А разные, то вероятность того, что событие А наступит m раз в n опытах, равна коэффициенту при m-й степени многочлена , где - производящая функция.

Если в серии из n независимых опытов, в каждом из которых может произойти одно и только одно из k событий с соответствующими вероятностями ,то вероятность того, что в этих опытах событие А₁появится m₁раз, событие А₂ – m₂раз, ..., событие А_k– m_k раз, равна:

,

(4.4)

где . Вероятности (4.4) называются полиномиальным распределением.

Пример 4.2. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны . Какова вероятность: а) промаха; б) одного попадания; в) двух попаданий; г) трех попаданий? Решить задачу в случае, если вероятности попадания в цель при разных выстрелах различны: , , .

Решение:

В данном случае , , . Пользуясь формулой Бернулли, находим:

а) вероятность трех промахов равна ;

б) вероятность одного попадания равна ;

в) вероятность двух попаданий равна ;

г) вероятность трех попаданий равна .

Как будет выглядеть полученный результат графически, показано ниже (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

Так как вероятности при разных выстрелах различны, то производящая функция имеет вид .

Откуда находим вероятность трех, двух, одного попаданий, промаха соответственно: , , , .

(Контроль: ).

Ломанная соединяющая точки (0; 0,001), (1; 0,027), (2; 0,243), (3; 0,729), называется многоугольником распределения вероятностей.

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Теорема Пуассона

Использование формулы Бернулли (4.1) при больших значениях n и m вызывает большие трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. Вычисление вызывает затруднения также при малых значениях р (q). Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления , обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы, которые содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления биномиальной вероятности при п→∞.

Теорема 4.2.Если число испытаний неограничено увеличивается (п→∞) и вероятность р наступления события А в каждом испытании неограничено уменьшается (р→0), но так, что их произведение пр является постоянной величиной (пр=а= const), то вероятность удовлетворяет предельному равенству:

.

(4.5)

Выражение (4.5) называют асимптотической формулой Пуассона.

Доказательство.Преобразуем формулу Бернулли (4.1) с учетом того, что :

.

Переходя к пределу п →∞ , получим ( согласно второму замечательному пределу). Из предельного равенства при больших n и малых р вытекает приближеннаяформула Пуассона:

, , .

(4.6)

Формулу (4.6) применяют, когда вероятность р=const успеха крайне мала, т.е. успех сам по себе является редким событием, но количество испытаний n велико, среднее число успехов незначительно. Приближенную формулу (4.6) обычно используют, когда , .

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени. Например, поток посетителей в парикмахерской, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов элементов, поток обслуженных абонентов и т.п.

Поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется простейшим (пуассоновским) потоком.

Свойство стационарности означает, что вероятность появления k событий на участке времени длины τ зависит только от его длины (т.е. не зависит от начала его отсчета). Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, так называемая интенсивностьλпотока, есть величина постоянная: λ(t) = λ.

Свойство ординарности означает, что событие появляется не группами, а поодиночке. Другими словами, вероятность появления более одного события на малый участок времени ∆t пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события. Например, поток катеров, подходящих к причалу, ординарен.

Свойство отсутствия последствия означает, что вероятность появления k событий на любом участке времени длины τ не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающимся с ним участке (говорят: «будущее» потока не зависит от «прошлого»). Например, поток людей, входящих в супермаркет.

Можно доказать, что вероятность появления m событий простейшего потока за время продолжительностью t определяется формулой Пуассона:

.

(4.7)

Пример 4.3. Телефонная станция обслуживает 2000 абонентов. Вероятность позвонить любому абоненту в течение часа равна 0,003. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов?

Решение:

Среднее число позвонивших в течение часа абонентов равно . Следовательно, .