Элементы комбинаторики

Согласно классическому определению подсчет вероятности события А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения. Если из некоторого конечного множества первый объект (элемент х) можно выбрать n₁ способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент у) можно выбрать n₂ способами, то оба объекта (х и у) в указанном порядке можно выбрать n₁∙n₂ способами.

Этот правило распространяется на случай трех и более объектов.

Пример 2.1.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Решение:

а) Имеется 5 различных способов выбора первой цифры в числе. После того как первую цифру выбрали, осталось четыре цифры для выбора второй цифры числа. Для выбора третьей цифры числа остается три цифры. Следовательно, согласно правила умножения имеем способов расстановки цифр, т.е искомое число трехзначных чисел - 60.

б) если цифры могут повторятся, то трехзначных чисел .

Правило суммы. Если некоторый объект х можно выбрать n₁ способами, а объект у можно выбрать n₂ способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (х или у), можно выбрать n₁ + n₂ способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Пример 2.2. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать для выполнения различных заданий двух студентов одного пола?

Решение:

По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14∙13=182 способами, а двух юношей - 6∙5=30. Следует выбрать 2 студентов одного пола: 2 студенток или 2 юношей. Согласно правилу сложения таких способов будет 182+30 = 212.

Решение вероятностных задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу r элементов из n различных элементов рассматриваемого множества.

Существуют две схемы выбора r элементов (0< r ≤ n) из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторениями). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все r элементов или отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.