Схема выбора с возвращением

Если при выборке r элементов из n элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений из n элементов по r с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле:

.

(2.10)

Пример 2.6. Из множества составить все размещения по 2 элемента с повторениями.

Решение:

По формуле (2.10) число размещений по два с повторениями равно

.

Это: (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c).

Если при выборке r элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Число всех сочетаний из n элементов по m с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле:

.

(2.11)

Пример 2.7. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?

Решение:

Рассматриваемое множество состоит из трех различных элементов, а выборки имеют объем равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трех элементов по 5 в каждом. По формуле (2.11) имеем

.

Перестановки из n элементов данного множества называются перестановками с повторениями из n элементов обозначается символом и вычисляются по формуле:

.

(2.12)

Пример 2.8. Найти число различных слов, которое можно получить, переставляя буквы слова «математика».

Решение:

Разные буквы слова «математика» представляют собой множества A_l, A₂, ..., A_k, на которые можно разбить исходное слово и различные объединения которых будут давать новые бессмысленные слова. Здесь , , , , , , . Отсюда , , , . Исходное множество , . Тогда по формуле (2.12)

.