Сложение и вычитание векторов

Вектор. Основные понятия

Повторим некоторые понятия, известные из школьного курса геометрии.

Определение. Вектором с началом в точке А и концом в точке В называется направленный отрезок АВ.

Обозначение: , .

Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается или .

Определение. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина вектора обозначается . Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: ǀǀ

Определение. Два ненулевых вектора и называются сонаправленными, если сонаправлены лучи и . Обозначение: Два ненулевых вектора и называются противоположно направленными, если противоположно направлены лучи и . Обозначение: .

Нулевой вектор считается сонаправленым с любым вектором.

Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Обозначение: .

Определение. Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны. Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Пример. Дан параллелограмм , точки и - середины сторон и соответственно. Векторы и - коллинеарны и, более того, противоположно направлены; векторы и - коллинеарны и сонаправлены; ; .

Сложение и вычитание векторов

Определение. Пусть и - произвольные векторы. Возьмём любую точку и отложим от неё вектор , затем от точки отложим вектор . Вектор называется суммой векторов и и обозначается: (рис.2).

Замечания.

1. Можно показать, что вектор определяется с помощью векторов и однозначно, не зависимо от точки .

2. При нахождении суммы двух неколлинеарных векторов приходится строить треугольник , поэтому указанное здесь правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Если слагаемые векторы и неколлинеарные. То для построения их суммы можно пользоваться другим способом – правилом параллелограмма.

Свойства сложения.

Для произвольных векторов , и справедливо следующие равенства.

1. - свойство коммутативности (переместительный закон).

2. - свойство ассоциативности (сочетательный закон).

3.

4.

Наиболее сложным из этих свойств является свойство ассоциативности. Проиллюстрируем его. Для этого от произвольной точки отложим последовательно векторы , и (рис. 4).

Дважды применяя правило треугольника получаем

.

Точно также находим, что .

Сумма трех векторов определяется с помощью сложения двух векторов, а именно: . Из свойств коммутативности и ассоциативности следует, что в сумме трех векторов скобки можно расставлять произвольным образом, а векторы можно складывать в произвольном порядке. Аналогичным образом определяется сумма числа векторов, большего трёх. Для построения суммы нескольких векторов используется правило многоугольника:

Первый вектор суммы откладывается от произвольной точки. Каждый следующий вектор откладывается от конца предыдущего. Суммой является вектор с началом в начале первого слагаемого и концом – в конце последнего слагаемого.

Определение. Три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Если три вектора и не компланарны, то для их сложения применяют также правило параллелепипеда. В этом случае векторы и откладывают от одной точки , затем на построенных векторах как на смежных ребрах строят параллелепипед. Суммой векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, выходящей из точки .

Определение. Разностью векторов и называется такой вектор , что . Обозначается: .

Из определения следует, что .

От точки откладываем векторы и , тогда разность - это вектор с началом в конце вычитаемого и концом в конце уменьшаемого.