Определение параметров в начальном сечении изобарического участка сверхзвуковой нерасчетной струи

В соответствии с принятой моделью сверхзвуковой одиночной струи за начальное сечение изобарического участка и конец газодинамического взято сечение а–а, являющееся концом первой бочки. Если отдельные сверхзвуковые струи, входящие в блок, взаимодействуют на газодинамическом участке, то блочная струя заменяется эквивалентной по расходу и тяге одиночной струей. Таким образом, при расчете распределений газодинамических параметров в начальном сечении изобарического участка как одиночных, так и блочных струй достаточно найти параметры в одиночной эквивалентной струе.

Существуют два пути решения поставленной задачи. Первый путь – численное решение полной системы дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающей течение турбулентного потока. Основное достоинство такого подхода – возможность определения требуемых значений газодинамических параметров в любой точке газодинамического участка, в том числе и в сечении а–а, недостаток – сложность и трудоемкость вычислений. Для упрощения вычислений часто пренебрегают трением в газе, что не позволяет учитывать развитие пограничных слоев на поверхностях тангенциальных разрывов. Это приводит к большим ошибкам при расчете распределений параметров в начальном сечении изобарического участка. Другой источник ошибок при использовании численных методов – это принимаемое допущение о неизменности термодинамических характеристик (показателей адиабаты, теплоемкостей, газовых постоянных и т.д.).

Второй путь основан на применении законов сохранения в интегральной форме, использовании некоторых экспериментальных результатов и априорно задаваемых профилей газодинамических параметров в начальном сечении изобарического участка. Назовем эти методы полуэмпирическими. Так как полуэмпирические методы опираются на опытные соотношения, они свободны от недостатков численных методов, но дают ограниченную информацию о распределении газодинамических параметров в области, занятой волновым участком струи. Заметим, что полуэмпирические методы позволяют учесть изменение термодинамических характеристик. В рамках поставленной задачи для определения параметров в начальном сечении изобарического участка удобнее использовать полуэмпирические методы, имея в виду, что их точность в сечении, проходящем через конец первой бочки, та же, что и численных (а в некоторых случаях даже выше), но вычислительный алгоритм проще.

Построим полуэмпирическую модель определения параметров в конце первой бочки, которая учитывает изменение термодинамических характеристик в процессе движения газа, а также перераспределение параметров в конце первой бочки из-за турбулентного смешения в зонах тангенциальных разрывов. Область, занятую струей в сечении а–а, разделим в общем случае на две подобласти: внутреннюю и внешнюю, в каждой из которых распределения газодинамических параметров пока принимаем однородными. Внутренняя подобласть, ограниченная пунктирными линиями на рис. 4.6, включает в себя часть потока, которая проходит через маховский диск. Естественно, что внутренняя подобласть вводится лишь тогда, когда есть маховский диск и его диаметр не слишком мал по сравнению с диаметром выходного сечения сопла d_вых (в практических расчетах внутреннюю подобласть следует вводить при d_мд / d_вых >0,15, где d_мд – диаметр маховского диска).

Определение параметров во внутренней подобласти.Параметры во внутренней подобласти вычисляются следующим образом. Предполагаем на основании имеющихся экспериментальных данных, что до значений чисел Маха на срезе сопла М_вых ≤ 4 поток за маховским диском ускоряется и в некотором сечении, называемом звуковым, скорость потока достигает скорости звука, а статическое давление сравнивается с величиной . Тогда, совмещая звуковое сечение с сечением а–а и принимая во внимание постоянство полного теплосодержания в пределах первой бочки при отсутствии перемешивания с окружающей средой:

, (4.3.1)

получим следующую замкнутую систему уравнений для определения газодинамических параметров во внутренней подобласти:

, ,

, ,

, ,

, , (4.3.2)

, ,

, ,

, ,

где индексом «вн» обозначены параметры во внутренней подобласти; , , – таблично заданные функции, найденные ранее при подготовке исходных данных, а – скорость звука, – давление, замеряемое трубкой Пито. Предполагается, что скорость в сечении а–а проецируется только на продольную ось,
т.е. .

Система уравнений (4.3.2) решается методом последовательных приближений путем подбора величины , соответствующей значению , например методом половинного деления. Примем такую последовательность действий: устанавливаем первоначальный интервал возможных значений теплосодержаний во внутренней подобласти , делим этот интервал пополам и полученное в первом приближении значение используем для последовательного решения уравнений системы (4.3.2) и вычисления в первом приближении значений , , , и т.д. Если полученное в первом приближении значение , то верхняя граница интервала возможных величин переносится в точку , в противоположном случае нижняя граница этого интервала переносится в точку . Далее процесс деления интервала возможных значений повторяется до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность определения газодинамических параметров во внутренней подобласти. Отметим, что в действительности звуковое сечение не совпадает с принятым в нашей модели сверхзвуковой струи положением начального сечения изобарического участка, а находится за этим сечением вниз по потоку, но вызываемая этим обстоятельством ошибка в определении газодинамических параметров на изобарическом участке струи незначительна.

Определение размеров внутренней подобласти.Определим диаметр внутренней подобласти , равный, пo предположению, диаметру звукового сечения. Так как внутренняя подобласть формируется потоком, прошедшим через маховский диск, то сначала следует найти размеры маховского диска. Для нахождения его диаметра в первой бочке сверхзвуковой нерасчетной струи, истекающей в затопленное пространство, воспользуемся приближенными экспериментальными соотношениями:

(4.3.3)

, ,

, (4.3.4)

, , ,

где – угол полураствора сопла. Соотношение (4.3.4) справедливо также для течений с отрывом в сопле, если вместо параметров на срезе взять параметры в сечении отрыва. Формула (4.3.4) получена при аппроксимации экспериментальных данных для струй, истекающих из конических сопл. При определении в перерасширенных струях, истекающих из профилированных сопл, рекомендуется зависимость

, (4.3.5)

, .

Однако в пределах точности рассматриваемой расчетной модели и обработки экспериментальных данных зависимость (4.3.4) может быть использована для встречающихся на практике углов при расчете струй, истекающих как из конических, так и из профилированных сопл.

Рассмотрим влияние числа Маха спутного потока на размеры маховского диска. Если величина , значения находятся по соотношениям (4.3.3), (4.3.4). Дальнейшее повышение приводит в недорасширенных струях к уменьшению значений , и если , , то можно принять равным нулю. Для промежуточных значений , величину будем определять приближенно, считая, что в указанном диапазоне значений меняется линейно от величины, даваемой формулой (4.3.3), которой ставится в соответствие значение , до нуля при . При в перерасширенных струях следует учитывать фактическое увеличение нерасчетности n и приближение ее к единице из-за разрежения, возникающего при обтекании сужающейся части струи. В результате этого процесс выравнивания статического давления по длине струи затягивается. Приближенно статическое давление во внешнем потоке у границы струи на участке сужения можно оценить по формуле Прандтля–Майера и тем самым учесть влияние спутного потока на перераспределение параметров в первой бочке. Но, принимая во внимание, что в прикладных задачах комбинация малых нерасчетностей с большими значениями встречается достаточно редко, ограничимся в разрабатываемом алгоритме использованием формулы (4.3.4) при всех значениях .

Таким образом, соотношения (4.3.3), (4.3.4) и сформулированные выше рекомендации дают возможность приближенно найти значения в диапазоне изменения параметров на срезе сопла и в окружающей среде, с которыми приходится сталкиваться на практике. В заключение отметим две особенности зависимостей (4.3.3), (4.3.4): получение отрицательных значений при некоторых сочетаниях значений и n, что трактуется как равенство нулю, и отсутствие в указанных формулах показателя адиабаты ввиду его незначительного влияния на .

Диаметр звукового сечения, равный, по предположению, диаметру внутренней подобласти , связан с величиной условием постоянства расхода в трубке тока, проходящей через маховский диск:

, (4.3.6)

где и – площади маховского диска и звукового сечения, – число Маха непосредственно за центральным скачком уплотнения, которое в свою очередь связано с числом Маха перед центральным скачком уплотнения и с коэффициентом потерь полного напора соотношениями

, (4.3.7)

, (4.3.8)

где , – давление адиабатически заторможенного потока перед маховским диском, определяемое по известным параметрам на срезе сопла:

, (4.3.9)

– давление адиабатически заторможенного потока за маховским диском, совпадающее с , так как течение газа от маховского диска и до звукового сечения во внутренней подобласти дозвуковое. Считая течение за маховским диском изоэнтропическим и учитывая, что в сечении а–а во внутренней подобласти , а , получим формулу для нахождения давления заторможенного потока:

. (4.3.10)

Показатель адиабаты в (4.3.6) – (4.3.10) принимается равным показателю адиабаты во внутренней подобласти , полученному ранее при решении (4.3.2). Алгоритм решения системы (4.3.6) – (4.3.10): по формулам (4.3.9) и (4.3.10) находят и ; определяют коэффициент потерь полного напора ; методом половинного деления при подборе числа Маха за центральным скачком уплотнения в возможном диапазоне его изменения решают уравнения (4.3.7), (4.3.8), неявным образом определяющие и ; по формуле (4.3.6) вычисляют диаметр и площадь внутренней подобласти.

Итак, приведенные уравнения и алгоритмы их решения позволяют определить размеры не только внутренней подобласти в начальном сечении изобарического участка, но и маховского диска, а также параметры потока до и после него.

Определение параметров во внешней подобласти и размеров струи в начальном сечении изобарического участка. Запишем систему уравнений, определяющую газодинамические параметры и размеры наружной подобласти в конце первой бочки. В соответствии с законами сохранения массы и количества движения

, (4.3.11)

(4.3.12)

где индексом «н» обозначаются параметры в наружной подобласти. Как и для внутренней подобласти, предполагается, что продольная составляющая скорости в наружной подобласти равна значению самой скорости .

Дополняя систему (4.3.11), (4.3.12) условием постоянства полного теплосодержания:

, (4.3.13)

предположением о равенстве статического давления в конце первой бочки давлению :

(4.3.14)

и таблично заданными функциями

, , , (4.3.15)

получим замкнутую систему для нахождения во внешней подобласти плотности , скорости , теплосодержания ,температуры , газовой постоянной , показателя адиабаты, а также площади наружной подобласти .

Схема решения системы (4.3.11)–(4.3.15) проста: разделив (4.3.12) на (4.3.11), находим скорость ; подставив ее значение в (4.3.13), получим теплосодержание ; далее из (4.3.15) находим последовательно значения , и ; затем из (4.3.14) определяем плотность и, наконец, из (4.3.11) – площадь .

Теперь газодинамические комплексы , скорость звука , число Маха и некоторые вспомогательные комбинации газодинамических параметров во внешней зоне струи в сечении а–а, диаметр струи в этом сечении , среднемассовое по начальному сечению изобарического участка струи число Маха :

(4.3.16)

и параметр , характеризующий отношение средних плотностей в окружающей среде и сечении а–а,

, (4.3.17)

выражаются через известные величины:

, ,

, , ,

, , , (4.3.18)

, ,

.

О точности определения геометрических размеров струи, а следовательно, косвенно и о точности определения средних значений газодинамических параметров в конце первой бочки, можно судить, сравнивая приведенные в табл. 4.1 данные расчета по изложенной методике с результатами обработки теневых фотографий затопленных воздушных одиночных сверхзвуковых струй и – для некоторых режимов – эпюр . При обработке эпюр за идеальную границу струи принималась условно линия, на которой скоростной напор составлял . При обработке теневых фотографий устанавливалась точка в конце первой бочки, где начиналось резкое изменение кривизны отраженного скачка, что свидетельствовало о переходе к зоне значительных градиентов скорости. Эта точка считалась лежащей на внутренней границе наружного пограничного слоя. Точка пересечения условной идеальной границы струи с сечением а–а приближенно находилась как средняя между точками на внутренней и наружной границах внешнего пограничного слоя.

Т а б л и ц а 4.1

Диаметры маховского диска и начального сечения изобарического участка в затопленных воздушных струях

Мвых	n		Расчет	Эксперимент
dмд /dвых	dа /dвых	dмд /dвых	dа /dвых
3,99	0,3	12,5˚	0,23	0,75	0,24(т)	0,77(т)
3,99	0,334	12,5˚	0,19	0,76	0,21(т)	0,78(т)
3,99	0,4	12,5˚	0,12	0,78	0,17(т)	0,81(т)
	5,28	0˚	0,69	1,55	0,77(t)	1,58(т)
	10,56	0˚	1,19	2,09	1,48(т)	1,9 (э)
						2,38(т)
	15,84	0˚	1,58	2,54	1,9(t)	––
1,5		––	0,77	1,75	0,83(т)	1,54(э)
						2,0(т)

П р и м е ч а н и е: т – данные получены при обработке теневых фотографий; э – при обработке эпюр .

Влияние турбулентного перемешивания на распределения параметров в начальном сечении изобарического участка.В общем случае в той части сверхзвуковой струи, истекающей из сопла на нерасчетном режиме , которая расположена между срезом сопла и концом первой бочки, возникают две поверхности тангенциального разрыва скорости: первая – идеальная граница струи и вторая – внутренняя граница раздела, зарождающаяся на кромке маховского диска (пунктирная линия на рис. 4.6). На этих поверхностях вследствие турбулентного перемешивания развиваются пограничные слои, которые существенно меняют распределения газодинамических параметров в начальном сечении изобарического участка.

Рассмотрим возможные способы корректировки распределения газодинамических параметров и их комбинаций в сечении
a–а, которые бы учли влияние турбулентного смешения.

Первый способ очевиден. Он состоит в том, что на поверхности тангенциального разрыва скорости накладываются пограничные слои. Назовем этот способ методом наложения. Алгоритм его реализации может быть построен следующим образом. По данным численных экспериментов или по имеющимся опытным зависимостям находят – длину наружной идеальной границы струи от среза сопла до сечения a–а, – длину внутренней границы раздела от кромки маховского диска до сечения a–а и – расстояние от среза сопла до сечения а–а. Относительно малые величины и позволяют упростить расчетную модель и считать, что тепловые, диффузионные и динамические внешние и внутренние пограничные слои не пересекаются.
Распределения комплексов , ,

по сечению этих слоев предполагаются линейными. Тогда, учитывая связь толщин пограничных слоев с длиной зоны смешения, получим толщины внешнего и внутреннего пограничных слоев в конце первой бочки. Далее налагаем на найденное нами ранее без учета турбулентного смешения ступенчатое распределение комплексов пограничные слои. В результате получим эпюры распределений комплексов по начальному сечению изобарического участка, которые в свою очередь позволяют найти все остальные значения газодинамических параметров и их комбинаций и уточнить величины и . Таким образом, зная расстояние от среза сопла до конца первой бочки , для определения которого используются обычно опытные соотношения, распределения комплексов по сечению а–а, величины и , получим иметь набор исходных данных, достаточный для последующего расчета изобарической зоны смешения турбулентной струи.

Второй способ основан на дальнейшем развитии хорошо известной одномерной теории газодинамического участка нерасчетной сверхзвуковой струи. Этот метод, называемый в дальнейшем методом эквивалентной струи, состоит в том, что реальная нерасчетная струя заменяется изобарической, имеющей в начальном сечении ступенчатые (если есть маховский диск) или равномерные (если маховского диска нет или его размеры малы ) распределения газодинамических параметров и геометрические размеры, определяемые по схеме, изложенной ранее.

Начальное сечение эквивалентной струи обычно совмещается со срезом сопла. При больших нерасчетностях (n > 100) начинает сказываться тот факт, что величины и значительно отличаются друг от друга. Так как рост толщины наружного пограничного слоя связан с величиной , то в этом случае следует начальное сечение эквивалентной струи сдвинуть вверх по потоку на расстояние за срез сопла. Начиная с конца первой бочки, распределения газодинамических параметров в реальной струе и эквивалентной изобарической в модели эквивалентной струи предполагаются одинаковыми.

Заметим, что действительные профили комплексов в конце первой бочки будут менее наполненными в центральной части по сравнению с соответствующими профилями, полученными методом эквивалентной струи. Это связано с неявным предположением в методе эквивалентной струи о равенстве . Однако, по мере отхода от начального сечения вниз по потоку, разность между опытными и расчетными значениями газодинамических параметров во всех точках сечения струи, в том числе и вблизи оси, быстро убывает.

Точность вычисления профилей комплексов по приведенным выше моделям иллюстрируется рис. 4.7, где сравниваются полученные двумя способами распределения величин в конце первой бочки сверхзвуковой нерасчетной воздушной струи, истекающей в затопленное пространство, в зависимости от – отношения расстояния от оси струи к радиусу среза сопла. Параметры на срезе сопла и в окружающей среде: число Маха на срезе сопла М_вых=1,5; нерасчетность n=5; давление окружающей среды Н/м². Профили обозначены следующим образом: сплошной жирной линией – расчет без учета пограничных слоев, пунктирной – расчет пограничного слоя методом наложения, сплошной светлой – расчет методом эквивалентной струи.

Рис. 4.7

Видно, что точность определения профилей газодинамических параметров при использовании методов наложения и эквивалентной струи примерно одинакова, но практическая реализация последнего несравненно проще. Фактически дело сводится к расчету параметров в конце первой бочки без учета турбулентного перемешивания и к простому переносу начала отсчета продольной координаты. Поэтому в дальнейшем будем ориентироваться на применение метода эквивалентной струи.