Математическое описание "чистой" СМО с ожиданием

Пусть для этой системы имеют место те же условия, что и для рассмотренной СМО с отказом. Но здесь на процесс ожидания заявок в очереди не накладывается никаких ограничений. Поэтому данная система имеет бесконечное, но счетное число состояний, а именно:

x₀ – свободны все каналы;

x₁ – занят один канал;

¼

x_k – занято k каналов;

¼

x_n –заняты все п каналов;

x_n+1 -- заняты все п каналов и одна заявка в очереди;

x_n+2 -- заняты все п каналов и две заявки в очереди;

¼

x_n+s -- заняты все п каналов и s заявок в очереди;

¼.

Решение дифференциальных уравнений Эрланга, описывающих указанные состояния системы, дает следующие формулы для расчета вероятностей состояний для установившегося режима:

Для рассматриваемой СМО установившийся режим наступает в случае, когда коэффициент загрузки канала a < п. Если указанное условие не выполняется, то число заявок, стоящих в очереди, будет неограниченно возрастать, и установившийся режим не наступит.

Для "чистой" СМО с ожиданием важной характеристикой является среднее время ожидания заявки в очереди М(Т_ож).

Дляустановившегося режима, т.е. когда a< п

где m – плотность потока обслуживания заявок.

Предполагая, что время обслуживания заявок распределено по экспоненциальному закону, плотность их обслуживания

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется как

Математическое описание СМО смешанного типа с ограничением длины очереди

Пусть СМО имеет п каналов, а число заявок, стоящих в очереди ограничено значением т.

Как и ранее, поток поступающих заявок будем считать простейшим с плотностью l. Пусть также известно среднее время обслуживания одной заявки М(Тоб). Данная система может иметь следующие состояния:

x₀ — свободны все каналы;

x₁ — занят один канал;

¼

x_k -- занято k каналов;

¼

x_n-- заняты все п каналов;

x_n+1 -- заняты все п каналов и одна заявка в очереди;

x_n+2 -- заняты все п каналов и две заявки в очереди;

¼

x_n+s -- заняты все п каналов и s заявок в очереди;

¼

x_n+m -- заняты все п каналов и m заявок в очереди

Решение дифференциальных уравнений Эрланга, описывающих указанные состояния системы, дает следующие расчетныерасчётные формулы для вероятностей состояний этой системы в случае установившегося режима, который наступает при t®¥.

Очевидно, что вероятность необслуживания заявки определяется вероятностью состояния х_n+т т.е.

рнеоб = р(х_n+т) = р_n+т

Доля времени, которое СМО будет простаивать, как и ранее, определится вероятностью р₀.

Пример. На участок ремонта поступают устройства со средней плотностью 2 блока в час. Среднее время ремонта одного блока равно 27 мин (0,45 ч.).

Требуется определить характеристики системы в случае одного и двух рабочих мест при условии, что в помещении дополнительно для ожидания в очереди можно поставить три блока (m=3).

Решение. Согласно условию участок ремонта может рассматриваться как СМО смешанного типа с ограничением числа заявок, стоящих в очереди. Будем считать, что поток заявок, поступающих в СМО, является простейшим, со средней плотностью l.

1. По условию примера имеем

т = 3;

l = 2 бл/ч;

М(Тоб) = 27 мин = 0,45 ч.

Следовательно

a = lМ(Тоб) = 2×0,45= 0,9

2. Определим характеристики СМО при количестве каналов п = 1 для случая установившегося режима. Вероятность необслуживания

рнеоб = р_n+т = р₁₊₃=0,16

3. Относительная пропускная способность СМО

q=1- Р_необ =1 – 0,16 = 0,84.

т.е. обслужено будет примерно 84% заявок.

4. Абсолютная пропускная способность

Q = ql = 1,68 бл/ч.

5. Средняя доля времени, которое СМО будет простаивать

Ро = P(х_o) = 0,24. т.е. примерно четверть.

6. Если количество каналов п = 2, то характеристики СМО для случая установившегося режима будут иметь следующие значения:

р_необ =0,009

q = 0,991;

Q»1,98 бл/ч;

p₀ = 0,34.

Из приведенных характеристик видно, что примерно 99% заявок будет обслужено, но, в то же время при продолжительности рабочей смены 7 часов СМО будет простаивать примерно 2,5 часа =7×0,34.