Интервальные и доверительные оценки

В инженерной практике часто возникает вопрос о точности и надежности оценки. Для его решения пользуются такими понятиями, как доверительный интервал и доверительная вероятность.

доверительный интервал – диапазон значений, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра. Указанную вероятность называют доверительной.

Определение доверительного интервала, однозначно указывает интервальную оценку параметра. Рассмотрим, как это сделать, на примере математического ожидания параметра.

Пусть получена точечная оценка математического ожидания параметра х. Обозначим эту оценку как М^*(х). Доверительный интервал строят обычно симметричным относительно точечной оценки М^*(х), как показано на рис.

Здесь приняты следующие обозначения:

М^* — точечная оценка математического ожидания рассматриваемого параметра;

М — истинное значение математического ожидания;

М_Н — нижняя граница доверительного интервала;

m_b — верхняя граница доверительного интервала;

Ig — доверительный интервал;

D— расстояние от точечной оценки М^* до границ доверительного интервала.

Доверительный интервал Ig обычно выражают как

Для определения доверительного интервала надо знать значение D. Из теории вероятностей известно, что даже при числе наблюдений п около 10-15, закон распределения оценки М^* близок к нормальному. Для нормального закона распределения можно воспользоваться правилом "трех сигм", при этом, значение D=3s гарантируется с вероятностью g=0,9973. На практике часто используются другие значения доверительной вероятности, например, g=0,9 и g=0,95. В общем виде

t_g - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности g. Он показывает, какое количество величин s(М^*) надо отложить влево и вправо от точечной оценки М, чтобы вероятность попадания истинного значения математического ожидания в полученный диапазон была равна вероятности g.

Значение коэффициента t_g в зависимости от вероятности g

Пример. Произведено измерение параметра h₂₁ десяти транзисторов.

Требуется найти точечную оценку математического ожидания величины h₂₁ и определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности g = 0,95.

выборочное среднее М^* — – точечная оценка математического ожидания

НесмещеннаяНесмещённая оценка

По табл. для g = 0,95 находим t_g = 1,96. Доверительные границы:

Следовательно, доверительный интервал (интервальная оценка) для математического ожидания параметра h₂₁:

I_g=(38,9; …51,1).