Тема 9. ЭМВ на границе раздела двух сред

Представление произвольно поляризованной волны как суперпозиции нормально и параллельно поляризованных волн. Законы Снеллиуса.

Падение нормально поляризованной волны на границу раздела двух диэлектрических сред. Законы отражения и преломления. Формулы Френеля. Коэффициенты отражения и прохождения.

Падение параллельно поляризованной волны на границу раздела двух диэлектрических сред. Явление полного прохождения, угол Брюстера.

Влияние проводимости сред на явление полного прохождения.

Явление полного отражения от границы раздела двух диэлектрических сред. Условия возникновения полного отражения, структура поля над и под границей раздела, поверхности равных фаз и равных амплитуд, фазовая скорость, длина волны, скорость переноса энергии.

Отражение от идеально проводящей поверхности; структура поля.

Стоячая волна. Особенности ЭМП стоячей ЭМВ. Коэффициенты стоячей (КСВ) и бегущей (КБВ) ЭМВ. Измерение КСВ в линии передачи.

Указания к теме

Для наклонно падающей ЭМВ на плоскую границу раздела сред необходимо научиться определять направляющие углы отраженной и прошедшей волн, вычислять их амплитуды, а также коэффициенты отражения и прохождения.

Знание законов Снеллиуса и формул Френеля дает полное представление об отраженных и преломленных волнах. Для их нахождения нужно использовать граничные условия с учетом поляризации ЭМВ.

Для анализа ЭМВ на границе раздела диэлектрических сред необходимо уяснить физику явления полного прохождения и полного отражения, образование поверхностной волны и ее особенности.

Многие задачи расчета ЭМП на границе раздела диэлектрик – проводник значительно упрощаются при использовании граничных условий Леонтовича.

Следует уяснить поведение ЭМП стоячей волны; понять, почему стоячая ЭМВ не переносит энергию. Необходимо выучить определения КСВ, КБВ, коэффициентов отражения и прохождения, область определения и значений данных характеристик.

Основные сведения

ЭМ явления на границе раздела двух сред играют большую роль в теории ЭМП. Границу раздела считаем плоской и бесконечно протяженной, что позволяет рассматривать ЭМВ в виде лучей (приближение геометрической оптики).

Считаем, что оси y и z лежат в плоскости границы раздела сред (рис. 9.1), а ось x совпадает с направлением вектора нормали для второй среды (e₂, m₂).

Наклонное падение ЭМВ. Законы Снеллиуса.Направление распространения падающей ЭМВ определяется ортом . Плоскостью падения (распространения) называют плоскость, проходящую через вектор распространения падающей ЭМВ и нормаль к поверхности раздела сред (рис. 9.1 – плоскость x0z).

Волновой вектор распространения для падающей ЭМВ имеет вид . Энергия падающей ЭМВ распределяется между ЭМВ, прошедшей во вторую среду (волновой вектор ), и ЭМВ, отраженной от границы раздела сред (вектор ) .

Волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн соответственно равны ; ; [1, 2].

При заданном угле падения φ определим угол отражения φ ^– (отраженный луч) и угол преломления (прошедший луч).

Векторы ЭМП этих трех волн должны удовлетворять граничным условиям во всех точках плоскости границы раздела в любой момент времени, поэтому фазовые множители данных ЭМВ совпадают:

. (9.1)

Из уравнения (9.1) вытекает равенство частотвсех ЭМВ . Проекции , и на ось у равны нулю. Это означает, что все волновые векторы лежат в плоскости распространения, поэтому их проекции на ось z равны:

, (9.2)

что позволяет сформулировать законы, открытые В. Снеллиусом [1].

1. Векторы падающей, отраженной и прошедшей ЭМВ лежат в одной плоскости (плоскости распространения).

2. Угол падения равен углу отражения ( ).

3. Отношение синусов углов падения и преломления равно отношению комплексных коэффициентов распространения во второй и первой средах (закон преломления В. Снеллиуса). Для диэлектриков с малыми потерями ( ):

, (9.3)

где – коэффициенты преломления сред.

Коэффициенты отражения и преломления.Интенсивности отраженной и преломленной волн определим через коэффициенты отражения и преломления.

Коэффициентом отраженияГ называется отношение комплексных значений напряженностей электрического поля отраженной и падающей волн на границе раздела (х= 0).

Коэффициентом преломленияТ во второй среде относительно первой называется аналогичное отношение преломленной и падающей волн .

; . (9.4)

Значения коэффициентов Г и Т зависят от поляризации падающей волны относительно плоскости падения.

Плоскую однородную ЭМВ, падающую на границу раздела двух сред, целесообразно разложить на перпендикулярную и параллельную поляризации.

Формулы Френеля

Перпендикулярная поляризация.В этом случае вектор перпендикулярен плоскости падения и параллелен границе раздела, а плоскость поляризации ЭМВ перпендикулярна плоскости распространения.

После преобразований, подробно рассмотренных в [1], получаем формулы О. Френеля для перпендикулярно поляризованных ЭМВ:

; . (9.5)

Для немагнитных сред ( ) (9.5) упрощается [1]:

; . (9.6)

Параллельная поляризация. В этом случае вектор лежит в плоскости распространения, а вектор перпендикулярен ей и параллелен границе раздела, т. е. плоскость поляризации ЭМВ параллельна плоскости ее падения.

После преобразований, подробно рассмотренных в [1–4], получаем формулы Френеля для параллельной поляризации:

; . (9.7)

Для немагнитных сред ( ) формулы (9.7) упрощаются [1]:

; . (9.8)

Падающую ЭМВ раскладывают на две составляющие, перпендикулярную и параллельную плоскости падения, и находят составляющие отраженной и преломленной волн. Соотношения между этими составляющими ЭМП определяют характер поляризации ЭМВ. В общем случае поляризация падающей, отраженной и преломленной ЭМВ может оказаться различной.

Из выражений (9.5) и (9.7) можно получить формулы для ЭМВ, падающей на границу раздела сред нормально, положив :

; . (9.9)

Из выражения (9.9) следует, что при нормальном падении ЭМВ на границу раздела отраженная волна будет отсутствовать (Г₀ = 0) только в том случае, если волновые сопротивления сред равны (условие согласования сред).

На рис. 9.2 приведены графики зависимостей коэффициента отражения ЭМВ обеих поляризаций от угла падения при различных соотношениях между диэлектрическими проницаемостями сред [1, 3].

На рис. 9.3 приведены аналогичные графики Т(j). Следует отметить, что коэффициент преломления Т, называемый в литературе также коэффициентом прохождения во вторую среду из первой, не является энергетическимкоэффициентом прохождения. Например, при Z_в2 > Z_в1 Т будет всегда больше единицы.

Векторы Пойнтинга в разных средах связаны с разными площадями поперечных сечений лучей. Если вектор Пойнтинга наклонно падающей ЭМВ привязать к определенной площади (например, круг), то на границе раздела эта площадь изменится (круг растянется в эллипс). Во второй среде форма сохранится, но сама площадь также несколько изменится.

Явление полного отражения.В случае, когда ЭМВ проходит из оптически более плотной среды в менее плотную ( ), воз­ни­кает явление полного отражения (рис. 9.4).

Угол преломления y будет вещественным числом при условии:

. (9.10)

В этом случае вещественны также Г и Т в формулах Френеля.

Неравенство (9.10) нарушается, если угол падения j превышает некоторое значение j_кр, называемое критическим углом:

. (9.11)

Если угол падения больше критического, то угол y не может быть вещественным, поскольку . В этом случае отраженная волна уносит всю энергию, принесенную падающей.

Явление полного внутреннего отражения используется в линиях передачи нулевой связности (световоды и т. п. – см. темы 15, 18).

Явление полного прохождения.Для ЭМВ с параллельной поляризацией существует угол падения, именуемый углом Д. Брюстера , при котором отраженная волна отсутствует, а значит, ЭМВ полностью переходит во вторую среду. Для немагнитных диэлектриков ( ) с малыми потерями, согласно выражениям (9.8), при , поскольку .

По закону Снеллиуса (9.3) находим .

Откуда следует

. (9.12)

Для ЭМВ с перпендикулярной поляризацией аналогичного эффекта не существует, а значит, всегда больше нуля.

Угол Брюстера называют также углом полной поляризации [1].

Если ЭМВ с произвольной поляризацией направлена на диэлектрическую пластину под углом , отраженный луч имеет только перпендикулярную поляризацию, так как параллельно поляризованная компонента полностью проходит через пластину.

На рис. 9.5 приведены ½Г(j)½ при различных значениях tgd второй среды при отсутствии потерь в первой.

Как видно из графиков, явление полного прохождения наблюдается только при отсутствии потерь проводимости. Если tgd > 0, то при параллельной поляризации график ½Г(j)½ будет иметь минимум, но нулевого значения не достигнет.

Если подбирать e₂ так, чтобы модуль комплексной e₂ оставался неизменным ( ), то минимум ½Г(j)½ будет достигаться при угле падения, равном углу Брюстера.

В случае перпендикулярной поляризации принципиальных изменений в поведении графиков на рис. 9.5 не происходит. Модуль Г(j) с ростом угла падения монотонно возрастает от Г₀ до единицы, а фаза Г(j) практически не отличается от 180° [1].

Диэлектрические пластины и шайбы, служащие для герметизации и крепления проводников в различных линиях связи и устройствах СВЧ, часто ставят под углом Брюстера. В этом случае на определенной частоте они полностью прозрачны для проходящих волн. Аналогичным образом поступают, если необходимо обеспечить минимальный уровень отраженной волны при падении ЭМВ из воздуха на вещество с Z_в, отличающимся от Z₀ воздуха.

Стоячая волна. КСВ. КБВ. При нормальном падении ЭМВ на границу раздела сред в первой среде складываются падающая и отраженная волны, имеющие противоположные направления распространения.

Суперпозиция ЭМВ в первой среде с учетом формул (9.6) определяется так [1]:

,

. (9.13)

С учетом (9.4) выражения (9.13) преобразуем так:

,

. (9.14)

Выражение в квадратных скобках можно назвать множителем стоячей волны, так как эта величина показывает периодически изменяющуюся вдоль координаты х «волнистую структуру» ЭМП (рис. 9.6).

При отсутствии потерь в среде :

. (9.15)

При монотонном изменении х второе слагаемое (9.15) вращается вокруг «1» с удвоенной (по сравнению с падающей волной) частотой. Максимальное значение составляет , а минимальное . Расстояние между соседними экстремумами стоячей волны составляет p/k₁ = l₁/2 .

Если среды согласованы, то , и в этом случае отраженная ЭМВ отсутствует. Если вторая среда – идеальный проводник, то , и в этом случае будет отсутствовать прошедшая ЭМВ, а в первой среде будет только стоячая волна с удвоенной (относительно падающей ЭМВ) амплитудой.

Из формул (9.13) и (9.14) получаем

, . (9.16)

На рис. 9.7 показана структура ЭМП стоячей волны. Из рис. 9.7 и выражения (9.16) сле­дует, что магнитная и электрическая составляющие имеют фазовый сдвиг на четверть длины волны (± 90°). Среднее значение вектора Пойнтинга в любой точке стоячей волны равно нулю, и передачи энергии нет.

Если перейти от комплексных амплитуд к мгновенным значениям, получим:

;

. (9.17)

За период 2π/w₁ получаются распределения максимальных и минимальных значений, показанные на рис. 9.8, которые соответствуют удвоенной частоте пространственного распределения.

При экспериментальном исследовании пространственной структуры стоячей волны с помощью измерительной линии на выходе детекторной секции получится зависимость вида (рис. 9.9).

На практике удобно оценивать неравномерность пространственного распределения ЭМП с помощью коэффициента стоячей волны (КСВ=1…¥ при ) и коэффициента бегущей волны (КБВ = 1…0):

; . (9.18)

На рис. 9.8 показана примерная пространственная характеристика стоячей волны на выходе детекторной секции измерительной линии. С учетом характеристики детектора получаем (КСВН (VSWR) – КСВ (SWR) по напряжению)

. (9.19)

Список рекомендуемой литературы:[1, гл. 14, с. 71–82; 2, с. 98–105; 3, гл. 13, с. 63–71; 4, с. 58–66; 5, с. 32–38; 6, с. 148–172; 7, с. 96–112; 9, с. 162–174; 10, с. 162–176; 11, с. 143–163; 12, с. 207–219; 13, с. 191–210].

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте законы Снеллиуса.

2. Являются ли законы отражения и преломления плоских волн на границе раздела сред фундаментальными законами природы?

3. Дайте определение коэффициентам отражения и прохождения. Какова область значений этих величин?

4. Каково поведение ЭМВ параллельной поляризации на границе раздела ?

5. Охарактеризуйте поведение ЭМВ перпендикулярной поляризации на границе раздела сред.

6. Укажите условие согласования сред.

7. Назовите условия полного прохождения.

8. Назовите условия полного отражения.

9. Есть ли связь между явлением полного прохождения и эффектом полной поляризации?

10. При критическом угле падения исчезает прошедшая волна. Что наблюдается, если угол падения больше критического?

11. Как изменяются условия прохождения ЭМВ через границу раздела в средах с потерями?

12. Возможно ли полное отражение ЭМВ от границы раздела диэлектриков с потерями?

13. Дайте определение стоячей волне. Объясните особенности ее ЭМП.

14. Почему стоячая ЭМВ не переносит энергию, хотя векторы ЭМП и существуют?

15. Дайте определение и укажите область значений КСВ и КБВ.

16. Можно ли получить стоячую волну из бегущих волн?

17. На границу раздела сред без потерь под углом Брюстера падает ЭМВ параллельной поляризации. Найдите соотношения между модулями векторов Пойнтинга в обеих средах и объясните полученный результат с точки зрения закона сохранения энергии.