Модели "спортивного" типа

Наиболее простыми являются модели "спортивного" типа, в которых интегральный показатель качества j _i представляется как "сумма очков" (сумма элементов строки). В простейшем случае он имеет вид

.

Альтернативные варианты упорядочиваются по мере убывания j _i:

.

При построении матрицы А для модели "спортивного" типа могут быть использованы: прос­тая структура, турнирная и кососимметричная калибровки.

Однако использование простой структуры не позволяет определить степень предпочтительности вариантов. Поэтому итоговые значения j _i также следует рассматривать как значения шкалы порядка, не позволяющие определить, насколько одна из альтернатив предпочтительнее другой. В этом случае следует использовать другие модели упорядочивания.

Модель Брэдли - Терри (модель максимального правдоподобия)

Простейшая модель максимального правдоподобия, называемая моделью Брэдли - Терри, предполагает, что каждому варианту x_i сопоставляется его сила j _i. Причем считается, что вероятность превосходстваx_i > x_j прямо пропорциональна этой силе.

Р(x_i > x_j) = j _i /(j _i +j _j) = 1 – Р(x_j > x_i).

После проведениясравнений пар (x_i, x_j) получают систему уравнений:

где , при турнирной калибровке и при простой структуре. Данная система решается итерационно. После получения значений j _i варианты упорядочиваются по их значениям.

Рассмотренная модель используется для простых структур и турнирных калибровок.

Модель Бержа

В модели Бержа каждому альтернативному варианту ставит­ся в соответствие цепочка так называемых интегрированных сил Р_i ⁽¹⁾, Р_i ⁽²⁾,..., в которой сила k-го порядка Р_i ^(k) определяется как сумма элементов i-й строки в матрице А ^k:

где k – степень, в которую возводится матрица А, – элемент матрицы А ^k размерностью n´n.

Показательпозволяет выполнить упорядочивание альтернатив x_i. При этом скорость сходимости j _i с ростом k велика. Поэтому для упорядочивания альтернатив достаточно пользоваться оценками j _i при малых значениях k =2¸4. Данная модель может быть использована для простой структуры, турнирной и степенной калибровок.

Рассмотрим пример решения задачи линейного упорядочивания с использованием модели Бержа для оценки значимости элементов технической структуры с целью обеспечения ее надежности.

Пусть, например, на начальном этапе проектирования необ­ходимо определить значимость элементов структуры, представленной на рисунке 4.

Рис. 4. Пример технической структуры

Стрелкой показано направление информационной связи меж­ду элементами структуры. Если элемент структуры x_i связан с элементом структуры x_j, то с точки зрения надежности функционирования x_i > x_j. Выходиз строя элемента x_i приводит к невозможности работы элементаx_j.

Использование простой структуры приводит к матрице А, А⁽²⁾, А⁽³⁾ вида (при этом ):

Вычислим . Получим =7, =2, = =1, =0. = 7 + 2 + 1 + 1 + 0 = 11. Тогда j₁=7/11, j₂=2/11, j₃=1/11, j₄=1/11, j₅=0. В данном примере j_i имеет смысл значимости (веса) надежности i–го элемента технической структуры для обеспечения ее надежности в целом.

Эти значения позволяют произвести линейное упорядочивание важности элементов технической структуры для обеспечения ее надежности в целом.

Модель Ушакова

Стохастическая модель Ушакова используется для обработки матриц А, заданных в степенной и вероятностной калибровках. Матрица А преобразуется в вероятностную матрицу Р, произ­вольный элемент которой p_ij интерпретируется как вероятность превосходства x_j надx_i. В том случае, если задана вероят­ностная калибровка, то матрица Р получается из матрицы А путем транспонирования Р = А^Т, т.к. значение a_ij в вероятност­ной калибровке указывает на вероятность того, что i-й вари­ант превосходит j-й.

Так как , то матрица Р преобразуется в матрицу , элемент которой .

Для выполнения условия элементы главной диагонали матрицы : .

В этом случае матрица принимает смысл матрицы вероят­ностей перехода эргодической цепи Маркова, в которой один вариант соответствует одному состоянию. Напомним, что эргодическими называются такие цепи Маркова, у которых вероятности перехода системы в различные состояния (финальные вероятности каждого состояния) перестают ме­няться от шага к шагу, а, следовательно, существуют предельные вероятности перехо­дов в каждое состояние, которые не зависят от исходного состояния. Финальные вероятности каждого состояния определяют значения интегральных пока­зателей j_i. Пока­затель j_j= . Причем, . В дальнейшем упорядочивание альтернативных вари­антов производится в порядке убывания значений j_i.