Простейшие формулы численного дифференцирования

Предположим, что в окрестности точки х функция дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной

Естественно попытаться использовать для ее вычисления две простейшие приближенные формулы:

(1)

, (2)

соответствующие выбору фиксированных значений Здесь h>0 - малый параметр (шаг). Разностные отношения в правых частях формул (1) и (2) часто называют правой и левой разностными производными.

Для оценки погрешностей

введенных формул численного дифференцирования (погрешностей аппроксимации) воспользуемся формулами Тейлора:

(3)

Здесь и далее и - некоторые точки , расположенные на интервалах (x, x+h) и (x-h, x) соответственно.

Подставляя разложения (3) в выражения для , получаем

Следовательно,

Таким образом, формулы (1), (2) имеют первый порядок точности по h. Иначе говоря, правая и левая разностные производные аппроксимируют производную с первым порядком точности.

Приведенные формулы численного дифференцирования имеют простую геометрическую интерпретацию (рис.1). Пусть N_0, N_-, N₊ - расположенные на графике функции y=f(x) точки с координатами (x, f(x)), (x-h, f(x-h)) и f(x, f(x+h)). Как известно, производная равна тангенсу угла α наклона к оси ОХ касательной, проведенной к графику функции в точке N_0.

(ГРАФИКИ)

Формула (1) соответствует приближенной замене производной правой разностной производной , равно тангенсу угла секущей, проведенной через точки N₀ и N_- .

Естественно предположить, что лучшим по сравнению с и приближением к является тангенс угла наклона α₀ секущей к графику, проведенной через точки N_-, N₊ (см. рис.2). Соответствующая приближенная формула имеет вид

(6)

Величину в правой части этой формулы часто называют центральной разностной производной.

Подставляя в выражение для погрешности

соответствующие разложения по формуле Тейлора

получаем .

Следовательно, справедлива оценка погрешности

(7)

Таким образом, центральная разностная производная аппроксимирует производную со вторым порядком точности относительно h.

Для вычисления можно получить формулы любого порядка точности. Однако в таких формулах с ростом порядка точности возрастает и число используемых значений функции. Например, формула (8)

имеет четвертый порядок точности.