Элементарные логические функции

Алгебра логики (булева алгебра)

· Первый закон обычной алгебры.

Коммутативный (переместительный) закон:

Х₁+Х₂=Х₂+Х₁;

Х₁^.Х₂=Х₂^.Х₁.

· Второй закон обычной алгебры.

Ассоциативный (сочетательный) закон:

Х₁+(Х₂+Х₃)= (Х₁+Х₂)+Х₃;

Х₁^.(Х₂^.Х₃) = (Х₁^.Х₂)^.Х₃.

· Третий закон булевой алгебры.

Дистрибутивный (распределительный) закон:

(Х₁+Х₂)^.(Х₁+Х₂)= Х₁+Х₂^.Х₃.

Аксиомы формальной логики

1. Х₁+Х₁=1;

2. Х₁^.Х₁=0;

3. Х₂+Х₂^.Х₃=Х₂(1+Х₃)= Х₂.

Правила формальной логики

· Правило склеивания:

Х₁(Х₁+ Х₂)=Х₁;

· Правило повторения:

Х₁^.Х₁=Х₁ Х₁+Х₁=Х₁;

· Правило отрицания:

Х₁+Х₁=1;

· Аксиома двойного отрицания:

(Х₁)=Х₁;

· Операции с постоянными:

Х₁^.1 = Х₁;

Х₁+1= 1;

0 = 1;

Х₁^.0 = 0;

Х₁+0 = Х₁;

1= 0

Теорема Де Моргана

1. Х₁+Х₂=Х₁^.Х₂;

2. Х₁^.Х₂= Х₁+Х₂;

3. Х₁+Х₂+Х₃=Х₁^.Х₂^.Х₃.

Элементарные логические функции

· х₁+х₂ = у — дизъюнкция (логическое сложение):

· х₁^.х₂ = у — конъюнкция (логическое умножение):

· у = f(х₁) = х₁ — инверсия (отрицание):

Таблица всевозможных функций двух переменных

у₁₄ — логическое сложение;

у₈ — логическое умножение;

инверсии нет;

у₇ — логическая функция И-НЕ (штрих Шефера);

у₁ — логическая функция ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса);

у₉ — операция эквивалентности (исключающее ИЛИ-НЕ);

у₆ — операция неэквивалентности (исключающее ИЛИ; полусумматор по модулю 2).

В этой таблице представлены производные от основных логических функций.

Реализация функции эквивалентности в базисе И-ИЛИ-НЕ.

Таблица истинности такого логического элемента:

Реализация функции неэквивалентности в базисе И-ИЛИ-НЕ.

Таблица истинности такого логического элемента:

х1	x2	y