Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

Например,

∫ (4х³ − 15х² +14х−3 )dx = ∫ 4x³dx − ∫ 15x²dx + ∫ 14xdx − ∫ 3dx = 4 x⁴ /4 − 15 x³/3 + 14 x²/2 − 3x + c = = x⁴ − 5x³ + 7x ²− 3x + C;

∫(х²+1)²dx=∫(х⁴+2х²+1)dx=∫х⁴dx+2∫x²dx+∫dx=x⁵/5+2x³/3+x+C;

.

3.2. Интегрирование способом подстановки

При интегрировании подстановкой вводится новая переменная с таким расчётом, чтобы получить один из табличных интегралов. Найдя интеграл по новой переменной, надо возвратиться к первоначальной переменной и дать окончательный ответ.

Указать общее правило для выбора подстановки нельзя, так как этот выбор в каждом отдельном случае зависит от вида подынтегральной функции.

Например, найти следующие интегралы:

1 .

Решение. Применим подстановку , где t – новое переменное. Продифференцируем обе части равенства:

или .

Теперь можно записать

= .

Возвращаясь к первоначальной переменной, получим окончательно:

=

Приступая к интегрированию рациональных функций, следует посмотреть, нельзя ли подынтегральную функцию привести к такому виду, чтобы в числителе была производная от знаменателя, тогда можно будет сразу записать ответ.

2 .

Решение. Находим производную знаменателя: . Сравнивая это выражение с числителем, замечаем, что там нет сомножителя 12. Если умножить числитель дроби на 12, а за знак интеграла вынести сомножитель 1/12, то получим:

3

Решение. Полагаем 5х=t, тогда 5dx = dt и dx =1/5dt;

4

Решение. Положим sinx=t, тогда cosxdx=dt;