Дифференциальное уравнение
(2.58) |
называется характеристическим уравнением для уравнения (2.52), а его общие интегралы и характеристиками.
Характеристики линейного уравнения (2.52) используются для приведения его к каноническому виду. Уравнение (2.52) в каждой из областей, где сохраняется знак дискриминанта , приводится к эквивалентному уравнению, а именно к каноническому, путем введения вместо переменных и новых переменных и с помощью зависимостей
.
Для уравнения гиперболического типа характеристическое уравнение имеет два интеграла, т.е. существуют два семейства действительных характеристик
и ,
и потому следует сделать замену переменных, положив
,
в результате чего исходное уравнение преобразуется к уравнению (2.54) (или к уравнению (2.55) после дополнительной замены , где и новые переменные).
Для уравнения параболического типа характеристическое уравнение имеет один действительный интеграл, т.е. одну характеристику , и потому полагают
,
где произвольная функция, например, . После такой замены уравнение приводится к виду (2.56).
Для уравнения эллиптического типа общие интегралы характеристического уравнения имеют вид
,
где функция, принимающая комплексные значения, а и действительные функции действительных переменных. С помощью подстановок
уравнение (2.52) приводится к каноническому виду (2.57).
После выбора новых переменных и требуется преобразовать производные, входящие в данное уравнение, к новым переменным. Напомним, что первые производные по старым переменным и выражаются через производные по новым переменным и по известным формулам дифференцирования сложной функции двух переменных:
.
Вторые производные находятся путем дифференцирования выражений для и по правилу дифференцирования сложной функции.
Так как для каждого типа канонических уравнений разработаны определенные методы как аналитического, так и численного решения, то задача приведения уравнений (2.52) к каноническому виду представляет практический интерес.
Заметим, что в различных областях тип одного и того же уравнения (2.52) может быть различным.
Дата добавления: 2017-10-09; просмотров: 301;