Дифференциальное уравнение вращательного движения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

Все точки при поступательном движении тела движутся как центр масс, поэтому дифференциальные уравнения движения центра масс тела

, , (*.34)

являются и дифференциальными уравнениями поступательного движения тела. С их помощью можно решать два основных типа задач:

1) по заданному движению твердого тела определять главный вектор приложенных к нему сил;

2) по заданным внешним силам, действующим на тело, и начальным условиям движения находить кинематические уравнения движения, если известно, что тело движется поступательно.

Дифференциальное уравнение вращательного движения

Из третьего уравнения теоремы об изменении кинетического момента получим дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси (рис. *.11). Имеем

.

Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси кинетический момент

.

Учитывая это получаем дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси

. (*.35)

В главный момент внешних сил (вращательный момент) не входят реакции (внешние силы) подпятника , , и подшипника , , так как они пересекают ось или направлены вдоль оси.

Если ввести угол поворота тела , то учитывая, что , дифференциальное уравнение (*.35) можно переписать так

(*.36) или . (*.37)

Равенство (*.36) показывает, что при данном чем больше момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение, и наоборот. Следовательно момент инерции тела действительно играет при вращательном движении такую же как масса при поступательном, т.е. является мерой инертности при вращательном движении.

Уравнение (*.37) позволяет:

1) по заданному уравнению вращательного движения и его моменту инерции определить главный момент внешних сил, действующих на тело (первая задача динамики);

2) по заданным внешним силам, приложенным к телу, по начальным условиям вращения тела , и по моменту инерции тела найти уравнение вращения тела (вторая задача динамики).

Если известны величины и , уравнение вращательного движения в форме (*.36) часто используют при экспериментальном определении моментов инерции тел, для которых расчетным способом их найти затруднительно.