Арифметический корень. Степень с рациональным показателем.

1º. Арифметическим корнем k-ой степени ( ) из числа а ≥ 0 называется неотрицательное число b, k-ая степень которого равна а:

2º. Замечание. Для любого действительного числа а, любого натурального числа n действуют правила:

в частности .

3º. Свойства арифметических корней. Пусть . Тогда:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

4º. Степенью числа a с рациональным показателем определяется равенством:

Степень с рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с целым показателем.

Пример 7. Упростить выражение: .

Решение. Используя определение степени и ее свойства, получим:

Формулы сокращенного умножения.

1º. Во всякого рода алгебраических преобразованиях используются формулы сокращенного умножения:

; ;

; ;

;

; .

Так, если а ≥ 0, b ≥ 0, то .

Или .

Пример 8. Вычислить .

Решение:

Ответ: 4.

Дидактический материал.

Вычислите:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. .

Внесите множители под знак общего корня:

16. ; 17. ; 18. .

Упростите выражения:

19. ; 20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. ;

26. ;

27. .

Ответы: 19. ; 20. x + 4; 21. 0,5; 22. -1; 23. ; 24. 1; 25. 3; 26. x – y;

27. .

Тема №4.

Неравенства с одной переменной (часть I).