Неравенства, содержащие знак модуля.

1º. При решении неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, используется определение модуля, что приводит к рассмотрению двух случаев:

а) f(x) ≥ 0, тогда |f(x)| = f(x);

б) f(x)<0, тогда |f(x)| = -f(x).

2º. При решении неравенств вида |f(x)| < a или |f(x)| > b полезно использовать следующие соотношения:

1) неравенство вида |f(x)| < a (или |f(x)| ≤ a), где a > 0, равносильно двойному неравенству –a < f(x) < a (или –a ≤ f(x) ≤ a);

2) неравенство вида |f(x)| > b (или |f(x)| ≥ b), где b > 0, равносильно совокупности двух неравенств .

3º. Для решения неравенств вида |f(x)| > |g(x)| используют метод возведения в квадрат обеих частей неравенства:

Пример 13. Решить неравенство .

Решение: Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство, равносильное данному: . Преобразовав последнее неравенство, получим , откуда находим: x ≤ - 2 , x ≥ 0.

Ответ: .

4º. Для решения неравенств вида часто применяют «метод промежутков». Находят ОДЗ неравенства, затем находят корни совокупности уравнений .

Эти корни разбивают ОДЗ на некоторое число промежутков. На каждом промежутке |f_i(x)|=f_i(x) или |f_i(x)|=-f_i(x), i=1,2,…,n. Поэтому на каждом из них данное неравенство заменяется на другое неравенство, уже не содержащее знаков модуля и равносильное данному неравенству на этом промежутке. Затем решают полученные неравенства (каждое на своем промежутке). Объединение всех найденных решений дает решение исходного неравенства.

Пример 14. Решить неравенство .

Решение:

Решение первой системы: ; второй: ; третьей: . Объединяя, получим .