Электрический поверхностный эффект в плоской шине

Пусть вдоль шины направлен переменный ток. Положительное направление тока и расположение осей декартовой системы координат даны на рис5.3.

Рис.5.3

По закону полного тока найдем Напряжённость магнитного поля на поверхности шины. Так как в данной задаче, как и в предыдущей, h >2a, то при подсчете можно в первом приближении пренебречь составляющей интеграла вдоль горизонтальных сторон шириной 2а.

Тогда, обозначив Напряжённость поля на поверхности шины через , получим 2h=İ. Отсюда = İ/2h.

При составлении уравнений для определения постоянных интегрирования учтем, что слева от шины Напряжённость ориентирована вдоль положительного направления оси y, а справа – в отрицательном направлении оси y.

Общее решение для плоской волны:

= Ċ₁e^pz +Ċ₂e^-pz.

Постоянные интегрирования найдем, используя граничные условия:

при z = – а = Ċ₁e^-pа+ Ċ₂e^pа,

при z = а – = Ċ₁e^pа+ Ċ₂e^-pа

Совместное решение двух последних уравнений дает Ċ₁= – /2sh pa.

Подставим Ċ₁ и Ċ₂в общее решение. Будем иметь

= – ·sh pz/sh pa = – (İ·sh pz)/( 2h ·sh pa).

Напряжённость электрического поля Ė направлена вдоль оси x и равна Ė = –d /(γ dz)

или Ė= (p İ ch pz) /(2 γ h ·sh pa).

Плотность тока в любой точке пластины

= γ Ė=pİ · ch pz /(2h ·sh pa).

Минимальное значение плотности тока будет в средней плоскости шины при z = 0.

Оно равно pİ/(2h ·sh pa).

График изменения модуля в функции от z представлен на рис. 5.4. На том же рисунке изображена вторая кривая, она дает зависимость модуля плотности тока от z.

Рис.5.4

Чем толще шина, чем больше γ, μ, и ω, тем сильнее проявляется поверхностный эффект. Если частота ω очень велика, то может оказаться, что ток будет протекать только по тонкому поверхностному слою шины.

При тонких шинах и относительно небольших частотах поверхностный эффект проявляется в малой степени.

Определение активного и внутреннего индуктивного сопротивления проводников на переменном токе часто производят при помощи теоремы Умова - Пойнтинга в комплексной форме. С этой целью подсчитывают поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника на длине в один метр и делят его на квадрат тока, протекающего по проводнику, получают комплекс сопротивления проводника на единицу длины (на один метр).

Действительно, .

В качестве примера определим активное и внутреннее индуктивное сопротивление прямоугольной шины длиной в один метр. Энергия в шину проникает с двух сторон. Поверхность шины с двух сторон на длине в 1 м равна 2h1.

Z=R+jX= .

Эффект близости

Если поблизости от проводникаесть другой проводник с током, то второй проводник влияет на картину поля в первом проводнике. В результате этого влияния активное сопротивление такого провода, как правило, увеличивается по сравнению с активным сопротивлением уединенного провода. Влияние близлежащих проводников с током на сопротивления проводника называют эффектом близости.

Рассмотрим эффект близости на примере двух плоских шин, близко расположенных одна к другой (рис. 5.5, а).

Одна шина является прямым проводом, другая обратным. Если расстояние между шинами 2b такого, же порядка, что и толщина шин (2а) и много меньше высоты h, то с известной степенью приближения Напряжённость магнитного поля в пространстве между шинами в два раза больше напряженности магнитного поля от одной шины в непосредственной близости от шины. А снаружи шин Напряжённость магнитного поля примерно равна нулю.

Для того чтобы убедиться в этом, воспользуемся принципом наложения. На рис. 5.5,б дан вид на пластины с торца. Сплошные стрелки на рис. 5.5 представляют Напряжённость поля от левой шины, пунктирные от правой. В пространстве между шинами напряженности складываются, снаружи вычитаются. В результате оказывается, что Напряжённость поля в пространстве между шинами H=2·I/2h=I/h, а снаружи шин Напряжённость магнитного поля равна нулю.

Рис.5.5

Найдем постоянные интегрирования в выражении

= Ċ₁e^pz +Ċ₂e^-pz.

При z= –a 0 = Ċ₁e^-pa +Ċ₂e^pа. При z = a – İ/h = Ċ₁e^pa +Ċ₂e^-pа.

Отсюда Ċ₁= –İe^pa/(2h sh 2pa) и Ċ₂= İe^-pa/(2h sh 2pa).

Следовательно,

= – İ(e^pa+pz–e^-pa-pz)/2h sh 2pa= – İ sh p(a+z) /(h sh 2pa) и

Напряжённость электрического поля Ė=pİch p(a+z)/(γh sh 2pa).

Если придавать z значения от – а до а, то по написанным выше формулам могут быть построены кривые изменения модулей Ė и в функции от z. Такие кривые качественно изображены на рис.5.6.

Рис.5.6

Для правой шины кривые построены на основании симметрии поля. Если не учитывать искажающего действия торцов, то электромагнитная волна в каждую из шин проникает только через поверхности их, обращенные друг к другу. Через наружные поверхности электромагнитная волна не проникает, так как там Н = 0. Комплекс сопротивления одной шины на единицу длины

Z_вн.1= .

Рассмотрим числовой пример. Пусть ток в 10 а течет по двум таким же шинам, с которые рассматривали в предыдущем параграфе (h =2см, 2а = 0,1 см). Одна из шин является прямым проводом, другая обратным. Подсчитаем комплекс сопротивления одной шины на единицу длины с учетом эффекта близости и сравним его с сопротивлением уединенной шины( когда эффекта близости нет):

th 2pa = (sh 3,74+j sin 214˚)/(ch 3,74+ cos 214˚) = 1,04e^-j1˚30′.

Следовательно,

Z_вн.1= p/(γh th 2pa) =18,7√2e^j45˚/(5,6·10⁷·21,04·e^{-j1˚ 30′}) = 22,5·10^-4 e^{-j46˚ 30′};

R=15,7·10^-4 Ом/м; Х_вн=16,34·10^-4 Ом/м.

Таким образом, влияние второй шины на поле в первой шине привело к тому, что активное сопротивление одной шины возросло с

9,5·10^-4 до 15,7·10^-4 Ом/м.

Для определения комплекса полного сопротивления единицы длины петли, образованной двумя шинами, кроме собственного сопротивления самих шин, надо учесть еще индуктивное сопротивление, обусловленное магнитным потоком, проходящим в пространстве между шинами.

Последнее равно:

Х_внешн = ωL_внешн = ω Ф_внешн/I = (ωμ₀H·2в·1)/I =μ₀ω2в/h.

Комплекс полного сопротивления единицы длины петли

Z_полн=2r _вн+j (2x_вн + x_внешн).