Плоская гармоническая волна в проводящей среде
Пусть плоская гармоническая волна проникает в проводящую среду 
) через плоскую поверхность , нормальную к направленную движения волны.
Система уравнений Максвелла в комплексной форме будет иметь вид:
, (1)
. (2)
Плотностью тока смещения ( 
) в уравнении (1) пренебрегаем в связи с ее малостью по сравнению с плотностью тока проводимости 
.
Выберем направления осей координат так, чтобы вектор 
сопадал с осью x ( 
), вектор 
совпадал с осью y ( 
), тогда вектор Пойтинга 
будет направлен по оси z ( 
). При таком выборе направлений осей координат система уравнений Максвелла получит вид:
,
.
Решим данную систему дифференциальных уравнений относительно одной из переменных, например, 
. Для этой цели продифференцируем уравнение (2) по переменной (z) и сделаем в него подстановку из уравнения (1):
.
Введем обозначения:
, где 
.
С учетом принятых обозначений дифференциальное уравнение получит стандартную форму:
.
Решение дифференциального уравнения:
.
Если среда распространения волны не ограничена, то отраженная волна отсутствует, и второе слагаемое из решения можно исключить, тогда решение в комплексной форме получит вид:
.
Перейдем от комплексного изображения к функции времени:
Решение для волны 
в комплексной форме:
,
где 
— волновое сопротивление среды.
Перейдем от комплексного изображения к функции времени:
Таким образом, электромагнитное поле в проводящей среде распространяется в виде затухающих взаимно перпендикулярных волн 
и 
. Множитель 
показывает, что амплитуды волн при своем перемещении затухают по экспоненциальному закону.
Под глубиной проникновения ∆ понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z), на котором амплитуда падающей волны Е (или Н) уменьшается в е =2,7183 раз.
Уравнением для определения глубины проникновения является выражение е-κΔ=е-1.Отсюда следует, что kΔ=1или Δ =1/k .
Глубина проникновения зависит от свойств проводящей среды (γ и μ) и от частоты ω. Так, если электромагнитная волна имеет частоту f=5000Гц и проникает в проводящую среду, у которой γ =107 См/ми μr=103, то
, 1/м.
Глубина проникновения Δ =1/k @ 0,007 см, т.е. на расстоянии в 0,007 см амплитуды Н и Е снизились в 2,7183 раза.
Под длиной волны l в проводящей среде понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z) , на котором фаза колебания изменится на 2π. Длина волны определится из уравнения l k=2π, отсюда l=2π/ k.
Под фазовой скоростьюпонимают скорость, с которой надо было бы перемещаться вдоль оси z, чтобы колебание имело бы одну и ту же фазу. Фаза колебания определяется выражением (ωt–κz+ψa). Производная от постоянной величины есть нуль, поэтому
d ( ωt–kz+ψa)/dt =0,или ω–k dz/dt=0; dz/dt= vфаз , vфаз =ω/k.
Для рассмотренного выше числовогюо примера
vфаз =2π·5000/14100 » 2,25 (м/с).
Дата добавления: 2017-08-01; просмотров: 720;