Поверхностный эффект в круглом проводе
Параметры электромагнитной системы : 
1,5 см; 
; 
; 
Гц; 
; 
.
Рис.5.7
С учетом указанных в задании допущениях строится расчётная модель электромагнитной системы (рис.5.8)
Рис.5.8
Решение приведем в цилиндрической системе координат, ось которой совпадает с осью проводника и имеет направление, совпадающее с направлением тока в рассматриваемый момент времени. В такой системе координат с учетом принятых выше допущений электромагнитное поле в проводнике имеет только осевую составляющую напряженности электрического поля, направленную вдоль линии тока и только угловую составляющую напряженности магнитного поля, поверхностное значение которой на поверхности проводника, благородя осевой симметрии системы можно рассчитать на основании закона полного тока.
. (5.1)
Запишем уравнение Максвелла для проводящей среды в комплексной форме
, (5.2)
(5.3)
совместно с остальными уравнениями электродинамики:
,
;
.
Будем для решения использовать понятие векторного магнитного потенциала 
, который вводится соотношениями
,
тогда система уравнений поля сводится к уравнению для комплекса амплитуды векторного магнитного потенциала.
Перепишем (5.2)и (5.3) соответственно в виде
(5.4)
. (5.5)
Из (*5.5) следует 
.
Учитывая векторное тождество 
и что 
, из (5.4*) получаем
(5.6)
где 
.
Вектор имеет только одну составляющую, т.е. 
. Поэтому (5.6) можно записать в виде
(5.7)
Введя параметр 
получим уравнение Бесселя с комплексным аргументом 
(5.8)
Общее решение (5.8) можно записать в виде
,
где 
- функция Бесселя нулевого порядка соответственно первого и второго рода.
Так как аргумент функции Бесселя общается в нуль на оси провода и 
= 
, то функции Бесселя второго рода должна быть из решения исключена, т.е. постоянная 
. Тогда
.
Напряжённость магнитного поля определим с учетом правила дифференцирования функций Бесселя (см. приложения 2)
,
. (5.9)
Определим постоянную интегрирования.
При 
,
откуда 
.
Подставляя выражение для С в (5.9), находим
.
Напряжённость электрического поля:
Комплекс амплитуды плотности тока:
Определяем модуль вектор Пойнтинга на поверхность провода .
Используя теорему Умова-Пойнтинга, определяем: потери мощности на 1м длины проводника
Вт.
величины активного сопротивления и индуктивного сопротивления, обусловленного внутренней индуктивностью проводника определятся:
Анализ решения показывает, что переменный ток по сечению цилиндрического провода распределяется неравномерно.
Поверхностный эффект возрастает с ростом частоты f, магнитной проницаемости m, удельной проводимости g. В технике сильных токов (на частоте 50 Гц) это явление сказывается незначительно в медных и алюминиевых проводах большого сечения, и в сильной степени - в стальных (mr>>1) проводах любого сечения.
Сопротивление проводника постоянному току или омическое сопротивление определяется по формуле:
[Ом/м].
Внутреннее комплексное сопротивление того же проводника переменному току с учетом поверхностного эффекта может быть выражено через параметры поля:
.
Поверхностный эффект возрастает с ростом частоты f, магнитной проницаемости m, удельной проводимости g. В технике сильных токов (на частоте 50 Гц) это явление сказывается незначительно в медных и алюминиевых проводах большого сечения, и в сильной степени - в стальных (m>>1) проводах любого сечения.
Практический интерес представляет отношение активного сопротивления провода к омическому r/r0, количественно характеризующее поверхностный эффект в проводе.С ростом частоты fвследствие усиления поверхностного эффекта происходит увеличение активного сопротивления провода (r/r0>1).
Дата добавления: 2017-08-01; просмотров: 760;