Алгоритм БПФ с прореживанием по времени

Чтобы достичь существенного улучшения эффективности необходимо разложить вычисления ДПФ на набор ДПФ меньшего порядка. Алгоритмы, в которых это разложение основано на разложении последовательности на меньшие подпоследовательности, называются алгоритмами с прореживанием по времени.

Рассмотрим частный случай . , . Разделим на четные и нечетные точки: , или, заменяя индексы суммирования на при четном n и при нечетном, получим = , т.к. , то

=

(1.54)

Каждая из сумм является N/2 точечным ДПФ. Первая сумма N/2 точечное ДПФ четных точек исходных последовательностей, а вторая – N/2 точечное ДПФ нечетных точек исходных последовательностей. Хотя индекс k простирается на N значений, k=0,1,…,N-1, каждая из сумм требует вычислений только для k от 0 до N/2-1, т.к. G(k) и H(k) периодичны по k с периодом N/2.

После того, как ДПФ, соответствующие двум суммам в (1.54), вычислены, они объединяются и дают N-точечное ДПФ .

Рис. 1.4. Разложение 8-точечного ДПФ

Рис. 1.6. 2-х точечное ДПФ.

Проведя разложение максимально возможное число раз, получим общее число комплексных умножений и сложений, равное .