Определение доверительных интервалов оценок генеральных характеристик
Для каждой статистической характеристики, вычисленной по результатам выборки, следует указывать точность оценки. Эта точность содержится в доверительном интервале. В этом случае замена генеральной характеристики ее оценкой делается с определенной достоверностью (доверительной вероятностью). Она характеризует степень нашего доверия к анализируемым результатам. Обычно достоверность, которую обозначим через Р, выбирается близко к единице (0,9; 0,95; 0,99). Она получается вычитанием из единицы величины уровня значимости коэффициентом риска β.
Строго говоря, достоверность– это вероятность того, что оцениваемый параметр лежит между доверительными границами.
В случае точечной оценки М(х) с помощью для гауссовского закона распределения случайной величины Х эта взаимосвязь количественно определяется теоремой Ляпунова
Теорема: С вероятностью, равной Ф1(a), можно утверждать, что при наличие в выборке объема n достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин хi, которая сравнительно мало отличаются друг от друга, разность между генеральными и выборочными средними арифметическими значениями будет лежать в пределах e, т.е. можно записать:
Р{- e £ М(х) - £+ e} = Ф1 (a),
В данном случае e = - это точность оценки или половина поля допуска; величину выбираем либо по формулам, либо по таблицам относительно α.
Пусть имеется распределенная по закону Гаусса генеральная совокупность с математическим ожиданием М(х) и среднеквадратическим отклонением σ=e. Относительно разности М(х) - можно с вероятностью, например, Ф1(a) =0,95 утверждать, что она находится в интервале с границами и .
Следовательно, можно записать следующее неравенство:
В ряде случаев величина σ не известна. В этом случае вместо σ используют стандартное отклонение.
.
Однако при замене интервального оцениваемого параметра s значением его оценки на практике встает другая задача: по выборочным характеристикам определить вероятность того, что неизвестное значение генерального среднего стандартного отклонения s будет лежать в заданных пределах e, т.е. нужно определить доверительные интервалы для s.
,
где Р1 и Р2 – вероятности, определяемые по таблицам.
и
и для n1=n2=n – 1.
Пример. По 15 случайным независимым наблюдениям над величиной Х, имеющей в генеральной совокупности гауссовское распределение, найдено выборочное значение среднего квадратического отклонения, равное 6,7. Спрашивается: с какой вероятностью мы можем утверждать, что s заключено между 6,5 и 6,9?
Решение. Имеем e=0,2; n=15; S=6,7.
v=v1=v2=n – 1=14.
;
.
Далее по таблице найдем значения Р1 и Р2.
Р1=0,5111; Р2=0,3875
Р1- Р2=0,1236
Следовательно, с точностью e=0,2 и вероятностью Р=0,1236 можно записать, что s»6,7. Если взять меньшую точность (т.е. большее значение e), то получилось соответственно и большее значение вероятности.
Дата добавления: 2017-06-02; просмотров: 659;