Основной закон релятивистской динамики материальной точки

Масса движущихся релятивистских частиц зависит от их скорости:

(39.1)

где m₀ — масса покоя частицы, т. е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; с — скорость света в ваку­уме; т — масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инициальных системах отсчета.

Из принципа относительности Эйнштейна (см. § 35), утверждающего инвариант­ность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона

оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса. Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид

(39.2) или

(39.3) где

(39.4)

— релятивистский импульс материальной точки.

Отметим, что уравнение (39.3) внешне совпадает с основным уравнением ньюто­новской механики (6.7). Однако физический смысл его другой: справа стоит производ­ная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (39.4). Таким образом, уравнение (39.2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учиты­вать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

В силу однородности пространства (см. § 9) в релятивистской механике выполняет­ся закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к с, то можно использовать только релятивистское выраже­ние для импульса.

Анализ формул (39.1), (39.4) и (39.2) показывает, что при скоростях, значительно меньших скорости с, уравнение (39.2) переходит в основной закон (см. (6.5)) классичес­кой механики. Следовательно, условием применимости законов классической (ньюто­новской) механики является условие Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая (формально пере­ход осуществляется при ). Таким образом, классическая механика — это меха­ника макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Экспериментальное доказательство зависимости массы от скорости (39.1) является подтверждением справедливости специальной теории относительности. В дальнейшем (см. § 116) будет показано, что на основании этой зависимости производятся расчеты ускорителей.

§ 40. Законвзаимосвязи массы и энергии

Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы. Раньше (§ 12) было показано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном переме­щении равно работе силы на этом перемещении:

(40.1) Учитывая, что и подставив в (40.1) выражение (39.2), получаем

Преобразовав данное выражение с учетом того, что и формулы (39.1),

Придем к выражению

(402)