Моменты инерции относительно осей координат
Моменты инерции относительно декартовых осей координат ,
и
и их начала – точки
(рис. 52) – определяются выражениями:
,
,
, (142)
, (143)
где – координаты материальных точек системы. Для сплошных тел эти формулы примут вид
,
,
,
.
Сумма моментов инерции относительно декартовых осей координат не зависит от ориентации этих осей в рассматриваемой точке, т.е. является величиной, инвариантной по отношению к направлению осей координат.
Для осей координат
можно определить следующие три центробежных момента инерции:
,
,
. (144)
Центробежные моменты инерции часто называют произведениями инерции. Если центробежные моменты инерции равны нулю, оси называют главными осями инерции. Если при этом в качестве начала координат выбран центр масс, их называют главными центральными осями инерции
Моменты инерции относительно осей и точек – величины положительные. Центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными.
Кроме рассмотренных моментов инерции иногда используются моменты инерции относительно координатных плоскостей ,
,
:
,
,
.
Теорема Штейнера
Установим зависимость между моментами инерции системы относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Пусть имеем две системы прямоугольных, взаимно параллельных осей координат
и
. Начало системы координат
находится в центре масс системы (рис. 53).
По определению момента инерции относительно оси имеем:
,
,
где – масса точки
, а
и
– координаты этой точки относительно систем
и
. Обозначим расстояние между осями
и
через
.
Связь моментов инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, составляет содержание так называемой теоремы Штейнера или Гюйгенса–Штейнера: момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями:
. (145)
Дата добавления: 2017-01-29; просмотров: 539;