Пятый постулат Евклида, попытки его доказательства. Эквиваленты пятого постулата. Аксиоматика Гильберта. Следствия из аксиом Гильберта. Абсолютная геометрия. Аксиоматика Вейля.

В абсолютной геометрии (без использования пятого постулата) можно доказать: признаки равенства треугольника; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; теорему о внешнем угле треугольника: каждый из внешних углов треугольника больше любого внутреннего, с ним не смежного.

Доказательство (по Евклиду)

1. . Тогда треугольник равняется треугольнику (по двум сторонам и углу между ними), следовательно, . Но угол составляет часть внешнего угла при вершине . Значит, теорема доказана.

Последний момент (что угол составляет часть внешнего угла) устанавливается из наглядности чертежа, т.к. аксиомы Евклида не дают возможности точно обосновать понятия «между», «внутри» и т.д. Кроме того, в доказательстве использовалось понятие равенства треугольников, которое не обосновано, т.к. не определено движение у Евклида. Таким образом, приведенные рассуждения существенно подкрепляются наглядностью чертежа.

Пользуясь теоремой о внешнем угле треугольника без помощи пятого постулата легко доказывается следующая лемма: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы (или соответственные углы) равны, то прямые не пересекаются.

Доказательство.

Пусть при пересечении прямых и секущей АВ накрест лежащие углы равны (например, ). Допустим, что прямые и пересекаются в некоторой точке , то получим треугольник , у которого один из углов при вершине или равен внешнему, что противоречит теореме о внешнем угле. Второе утверждение следует непосредственно из доказанного.

Пользуясь данной леммой, легко доказывается (без использования пятого постулата), что через каждую точку М, не лежащую на прямой , проходит прямая, параллельная прямой .

Возникает вопрос: сколько же прямых, параллельных прямой , проходит через точку М. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: если имеет место пятый постулат, то через каждую точку М, не лежащую на прямой , проходит только одна прямая, параллельная прямой .

Доказательство:

1. Проведем прямую , перпендикулярную к прямой , и прямую , проходящую через точку перпендикулярно к прямой . Тогда прямые и параллельны.

2. Проведем через точку произвольную прямую , отличную от прямой . Один из смежных углов (1 или 2) острый (пусть ). При пересечении прямых и с прямой получаем внутренние односторонние углы: и , сумма которых меньше двух прямых углов, значит по пятому постулату прямые и пересекаются.

Докажем обратную теорему: если принять, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна прямая, параллельная данной, то справедлив пятый постулат.

Доказательство.

1. Пусть при пересечении прямых и секущей образованы внутренние односторонние углы и так, что , где - мера прямого угла. Докажем, что прямые и пересекаются в некоторой точке, лежащей в полуплоскости, в которой лежат углы и .

2. Обозначим через угол смежный с углом и накрест лежащий с углом . Так как , то из 1) следует, что .

3. Отложим от луча угол , равный углу , так, чтобы и были накрест лежащими углами при пересечении прямых и прямой . По лемме прямые и параллельны. В силу неравенства прямые и не совпадают. Так как через точку проходит только одна прямая, параллельная прямой , то прямые и пересекаются в некоторой точке .

4. Если предположить, что точка лежит в той полуплоскости, в которой лежит угол , то в силу неравенства придем к противоречию с теоремой о внешнем угле треугольника. Таким образом, - точка той полуплоскости, в которой лежат углы и .

Итак, пятый постулат эквивалентен (равносилен) так называемой аксиоме параллельности прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более чем одна прямая, параллельная данной.

Итак, 5 постулату (если две прямые при пересечении с третьей образуют с одной стороны внутренние односторонние углы, сумма которых меньше , то эти прямые пересекаются при их достаточном продолжении с этой стороны. ( ) в Евклидовой геометрии отводится особое место.

На нем основана теория параллельных прямых, подобие фигур, теорема о сумме углов в треугольнике, теорема о сумме углов выпуклых многоугольников, тригонометрия, теория площадей и объемов. Попытки доказательства пятого постулата привели к признаку параллельности прямых, аксиом существования параллельной прямой. Пятый постулат также эквивалентен (равносилен) следующим утверждениям.

1. Сумма углов каждого треугольника равна двум прямым;

2. Существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна 2d (d- прямой угол);

3. существует прямоугольник;

4. Существует пара треугольников и с равными углами;

5. Теорема Пифагора.

Со времен Евклида и до конца 19 века было множество попыток доказать 5-ый постулат (О.Хойям 1048-1023 г., Лежандр – 1750-1833 г и др.). Обычно автор доказательства незаметно для себя опирался на некоторое допущение, которое оказывалось еще одним эквивалентов 5-го постуоата. Попытки были бесплодными, но был получен ряд верных результатов, наиболее четкое доказательство которых было дано Лежандром.

Со времен Евклида также не прекращались попытки уточнять основные положения геометрии. Однако на протяжении многих веков к обоснованию геометрии никто не прибавил ничего принципиально нового сверх того, что уже было сделано Евклидом. Строгость евклидовых доказательств до 19 века казалась достаточной. Только в конце 19 века оформились воззрения на принципы логического построения геометрии.

В 1899 году вышла в свет книга Д. Гильберта «Основания геометрии». В ней впервые был дан список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии. Полные списки аксиом евклидовой геометрии составлялись и до Гильберта, но не такие совершенные.

По Гильберту, база структуры евклидова пространства состоит из трех множеств: . - множество точек, - множество прямых, - множество плоскостей.

На этих множествах заданы 3 отношения: бинарное «принадлежит»; тернарное «лежит между»; бинарное «равно», которые удовлетворяют 20 аксиомам, разбитым на пять групп.

I группа- аксиомы принадлежности:

I₁ - каковы бы ни были две точки А и В существует прямая, проходящая через эти точки;

I₂ - каковы бы ни были две точки А и В существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

I₃ – на каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существует по крайней три точки, не лежащие на одной прямой.

I₄ – каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует плоскость α, проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

I₅ – каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

I₆ – если две точки А и В прямой а, лежат в плоскости α, то каждая точка прямой а лежит в плоскости α.

I₇ – если две плоскости α и β имеют точку А, то плоскости имеют по крайней мере ёще одну любую точку В.

I₈ – существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

С помощью этой группы доказываются теоремы:

1. Две прямые имеют не более одной точки пересечения.

2. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на не точку так же как из двух пересекающихся прямых проходит одна и только одна плоскость.

4. На каждой плоскости существует 3 точки, не лежащие на одной прямой.

II группа аксиомы порядка:

II₁ – если точки А-В-С, то они являются разными точками одной прямой и точка В лежит между С и А.

II₂ – каковы бы ни были точки А и В существует не более одной точки, лежащей между другими.

II₃ –среди любых трех точек прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

II₄ – (аксиома Паша): Пусть А,В,С три точки, не лежащие на одной прямой, а- прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из них, тогда если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она также проходит через точки отрезка АС или ВС.