Математическое доказательство

Большую часть знаний об окружающей нас действительности мы получаем с помощью рассуждений. Выводы в них будут истинными, если они являются результатами правильных рассуждений, а такими считают рассуждения, построенные по правилам логики. Рассуждения лежат в основе доказательства, без которого трудно представить математику. Но тех представлений о доказательстве, которые возникли у вас в процессе конкретных доказательств, конечно, недостаточно, чтобы обучать доказательству младших школьников. Учителю нужны более глубокие знания о тех правилах, в соответствии с которыми строятся правильные рассуждения, нужны знания о структуре и способах доказательства, о взаимосвязи индукции и дедукции.

1. Умозаключения и их виды

В логике вместо термина «рассуждения» чаще используется (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.

Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки – это высказывание, содержащее исходное знание.

Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. В умозаключении из посылок выводится заключение.

Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники, изучая математику.

Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 – двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».

Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна посылка общего характера – это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая – частная, она характеризует только число 23 – оно двузначное. Заключение – это предложение, которое стоит после слова «следовательно», - также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 6•3 = 3•6, 5•2 = 2•5, 7•3 = 3•7. А затем на основе полученных равенств делают вывод: :для всех натуральных чисел а и b верно равенство а • b = b • а.

В данном умозаключении посылками являются первые три равенства, в них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера – переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Пример 3. При обучении делению на однозначное число используется такой прием. Сначала выясняется: чтобы найти значение выражения 12:4, следует узнать, на какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить делимое, т.е. 12. Известно, что 4 • 3= 12. Значит, 12 : 4 = 3.

Затем учащимся предлагается, рассуждая так же, найти, например, частное 8 : 4. И они сначала находят число, на которое надо умножить 4, чтобы получить 8. Получают число 2 и делают вывод – 8 : 4 = 2.

Далее, используя тот же способ рассуждений, находят частные 9 : 3, 20 : 5 и др.

Видим, что умозаключения бывают разные. В примере 1 заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности. Такие умозаключения называют в логике дедуктивными.

Определение. Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А₁, А₂, …, Аn, а заключение – буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так: А₁, А₂, …, Аn ⇒ В. Часто запись пишут в виде дроби.

Дедуктивным является умозаключение, которое рассмотрено в примере 1.

Умозаключения из примера 2 называют неполной индукцией.

Определение. Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу. Они нуждаются в проверке.

Несмотря на то, что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания велика. Многие общие положения и, в частности, научные законы были открыты с помощью умозаключений, называемых неполной индукцией.

Третий пример – это пример рассуждения по аналогии.

Слово «аналогия» в переводе с греческого означает «соответствие, сходство».

Вообще под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого признака.

Аналогия помогает открывать новые знания, способы деятельности или использовать усвоенные способы деятельности в измененных условиях.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними.

Примеры. Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов. При изучении нумерации установлено, что в классе единиц три разряда – единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч – этот вывод можно сделать по аналогии.

Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа. Так, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 ( 27•3 = (20+7) •3 = 20•3+7•3=81) детям предлагается умножить 721 на 3. Действуют по аналогии. Затем устанавливают, как умножить 6289 на 3. Следующим шагом может быть обобщение, т.е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное, т.е. использование неполной индукции.