Релятивістська динаміка

Релятивістський імпульс

В релятивістській динаміці, як і в механіці Ньютона, імпульс матеріальної частинки відіграє важливу роль. Він також пропорційний її масі і співпадає по напрямку із її швидкістю . Однак, на різницю від ньютонівської механіки релятивістський імпульс є нелінійною функцією швидкості, а саме

(1.5.13)

де m₀ – так звана маса спокою.

У граничному випадку, коли v << c, визначення релятивістського імпульсу переходить у відоме визначення для нерелятивістського імпульсу

Основний закон релятивістської механіки

На підставі закону збереження релятивістського імпульсу можна встановити основний закон релятивістської динаміки у вигляді

(1.5.14)

Це рівняння в такому виді, де праворуч знаходиться похідна від релятивістського імпульсу, задовольняє першому постулату Ейнштейна.

На відміну від нерелятивістського визначення сили ми бачимо, що напрямок сили у загальному випадку не збігається з напрямком прискорення. Дійсно, рівняння (1.5.14) можна записати таким чином

де позначено

Кінетична і повна енергія тіла (частинки)

Виконання законів збереження імпульсу і енергії сумісне з релятивістськими уявленнями о просторі і часі тільки тоді, коли повна енергія тіла приймає вигляд

(1.5.15)

Повна енергія в різних системах відліку різна.

Якщо тіло нерухомо, то його енергія

(1.5.16)

де Е₀ – енергія спокою, яка не залежить від вибору ІСВ.

Класична нерелятивістська механіка енергію спокою не враховує, вважаючи, що при v = 0 енергія тіла у стані спокою дорівнює нулю.

Повна енергія у вигляді (1.5.15) – це сума кінетичної енергії й енергії спокою тіла (частинки). В повну енергію й енергію спокою не входить потенційна енергія тіла в зовнішньому силовому полі.

Формули (1.5.15) і (1.5.16) демонструють нерозривний зв'язок між енергією як мірою руху і масою як мірою кількості матерії, що підкреслює єдність матерії та руху як форми її існування.

Кінетична енергія тіла (частинки) дорівнює

(1.5.17)

Нескладно довести, що при v << c формула (1.5.17) переходить у формулу для визначення кінетичної енергії поступального руху частинки у нерелятивістському випадку.

Повна енергія частинки і її імпульс пов’язані співвідношенням

(1.5.18)

або в скалярному вигляді . (1.5.19)

Інваріанти СТВ

Створювач спеціальної теорії відносності А. Ейнштейн називав свою теорію «теорією інваріантів». Дійсно, у класичній нерелятивістській фізиці існують чимало фізичних величин, які не змінюються при переході від однієї ІСВ до іншої, тобто являються інваріантами; наприклад, просторові і часові інтервали двох подій, маса. Виявляється, що і в релятивістській фізиці при такі інваріанти теж існують, і вони ілюструють ще більш глибокий зв'язок між фізичними величинами і явищами.

По-перше, інваріантом являється універсальна швидкість поширення взаємодій, що дорівнює швидкості світла у вакуумі

с = invar.

По-друге, інваріантами предстають поперечні координати і розміри тіл (відносно руху, див. (1.5.6)):

По-третє, інваріантною кінематичноювеличиною є просторово-часовий інтервал між двома подіями

, (1.5.20)

де , .

Нарешті, відмітимо, що важливим динамічним інваріантом являється енергія спокою

(1.5.21)

1.5.6. Неінерціальні системи відліку. Сили інерції

Спеціальна теорія відносності охоплює тільки інерціальні системи відліку (ІСВ). Однак, в реальному середовищі, яке оточує людину, в основному, існують системи відліку, що рухаються з прискоренням, тобто являються неінерціальними системами відліку (НСВ). Опит показує, що рух тела (поступальний, обертальний або складний) і його траєкторія може суттєво відрізнятися при розгляданні відносно ІСВ і НСВ.

Звісно, що закони Ньютона виконуються тільки в ІСВ. Для того, щоб другий закон Ньютона у звичайному вигляді застосувати в НСВ, приходиться вводити деякі сили особого роду – так звані сили інерції.

Сили інерції повинні бути такими, щоб разом із силами , обумовленими дією тіл одне на одне, вони надавали тілу прискорення , яким воно володіє в НСВ. Тоді II закон Ньютона буде мати вигляд

(1.5.22)

або враховуючи, що ( - прискорення в ІСВ), маємо

(1.5.23)

де - сила інерції, яка складається із додатків, обумовлених відповідно лінійним прискоренням, обертальним рухом, обертальним рухом с прискоренням, а також силою Коріоліса (останній додаток), що виникає при рухові обєкту в НСВ зі швидкістю .

Враховуючи, що сили інерції спричиняються не взаємодією тіл, а прискореним рухом НСВ, вони с точки зору ньютонівської механіки являються фіктивними і не підкоряються IIIзакону Ньютона.

Сили інерції для тіл в НСВ є зовнішними, тому в НСВ не виконуються закони збереження (НСВ вважається незамкнутою системою).

Сили інерції пропорційні масам тіл, тобто надають рівним масам однакові прискорення, і цим самим вони аналогічні силам гравітаційної взаємодії. Так, наприклад, ніяким експериментом усередині ракети людина не може зясувати, чи рухається система у однорідному полі тяжіння Землі з вимкнутими двигунами, чи, знаходячись у відкритому космосі, рухається з прискоренням .

Взагалі, згідно локальному принципу еквівалентності, усі фізичні явища у полі сил тяготіння протікають цілковито також, як і у відповідному полі сил інерції, якщо напруженості обох полів у відповідних точках простору співпадають, а інші початкові умови для тіл, що розглядаються, однакові.

Відмітимо, що термін локальний означає, що принцип справедлив тільки для малої області простору, де виконуєтьсяся умова F_гр= const.

Порівняння гравітаційної і інертної маси експериментально розглядалось починаючи з 1887 року (опити Етвеша) і до наших днів. З’ясовано, що з відносною похибкою, яка дорівнює 10^-12, ми можимо зтверджувати – ці маси є тотожними.

1.5.7. Елементи загальної теорії відносності

Щоб перейти від формулювання локального принципа еквівалентності до необмеженного простору А. Ейнштейн створив польову теорію тяжіння – загальну теорію відносності (ЗТВ).

Він запропонував нову модель Всесвіту, яка являла собою викривлений чотиривимірний простір-час і не володіла такими властивостями як однорідність і ізотропність. На основі такої моделі Ейнштейн сформулював узагальнений принцип відносності як перший постулат ЗТВ.

1. Будь-які явища природи однакові у всіх системвах відліку (ІСВ та НСВ).

Другий постулат ЗТВє спільним із СТВ.

2. Швидкість світла у вакуумі не залежить від швидкості руху джерела світла або спостерігача й однакова у всіх системах відліку.

ЗТВ (сучасна теорія тяжіння) являє собою єдину теорію простору, часу і тяжіння. Згідно неї геометричні властивості простору-часу залежать від розподілу у просторі тяготіючих мас і їх руху. Тіла, які створюють гравітаційне поле, «викрівляють» реальний тривимірний простір і по-різному змінюють ход часу у різних його точках, тобто викликають відхилення його властивостей від властивостей плоского простору.

Рух тіл у полі тяжіння виявилось можливим роздивлятися як рух по інерції, але у викривленому чотиривимірному неевклідовому просторі-часі, метрікою якого є геометріяЛобачевського-Рімана.

Можно показати, що ньютонівська механіка є часним випадком ЗТВ при малих швидкостях і слабких полях.

Нарешті, відзначимо деякі наслідки ЗТВ, які підтверджені експериментально:

-червоне зміщення або розбігання галактик;

- прецесія орбіт планет;

-відхилення проміня світла поблизу Сонця;

-сповільнення часу в сильних гравітаційних полях.