Структура ряда динамики. Проверка ряда на наличие тренда

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1) тренд - основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней);

2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;

3) случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа:

1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;

2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям.

1 . Метод средних.

Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина (У, У). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда.

2. Фазочастотный критерий знаков первой разности (Валлиса и Мура).

Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы - изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).

3. Критерий Кокса и Стюарта.

Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае, если количество уровней ряда динамики не делится на три, недостающие уровни нужно добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп.

4. Метод серий.

По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае - тип В.

В образовавшейся последовательности типов определяется число серий. Серией называется любая последовательность элементов одинакового типа, граничащая с элементами другого типа.

Так как имеющиеся данные могут иметь различные функции распределения, то целесообразно принимать решение о наличии тренда на основе использования свободных от распределений или непараметрических методов, в которых относительно функции распределения полученных данных не делается никаких предположений. Или же данных настолько мало, что корректно проверить гипотезу о наличии конкретного распределения невозможно. Наиболее известными не зависящих от формы распределе­ния методами, которые применяются для оценки наличия тренда в совокупности данных, являются: критерий серий и критерий инверсий.

Критерий серий

Рассмотрим последовательность N значений случай­ной величины x(k) и каждое значение отнесем к одной из двух взаимно исключающих категорий, которые обозначим знаками плюс (+) и минус (-). В качестве при­мера рассмотрим последовательность измеренных значений величины x_i при i = 1, 2, 3, ..., N, среднее значение кото­рых равно . Каждое наблюденное значение
x_i ³ обозначим (+), а если x_i < , то (-).

Полученная последователь­ность наблюдений, имеющих знак плюс или минус, может выглядеть следующим образом:

+ + - + + - + + + - + - - + - - + - - -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Серией называется последовательность одинаковых значе­ний, перед которыми или после которых расположены значения другой категории или наблюдения отсутствуют вообще.

В рассмотренном примере имеется r = 12 серий в последовательности из N = 20 наблюдений.

Число серий, которое встречается в последовательности наблюде­ний, позволяет определить, являются ли результаты независимыми случайными наблюдениями над одной и той же случайной величиной. Если после-довательность N наблюдений представляет собой независимые наблюденные значения одной и той же случайной вели­чины, т. е. вероятность знаков (+) и (-) не меняется от одного наблю­дения к другому, то выборочное распределение числа серий в после­довательности есть случайная величина r(k) со средним значением

и дисперсией

где N₁ - число наблюдений со знаком (+), N₂ - число наблю­дений со знаком (-). В частном случае, когда N₁ = N₂ =N/2 , представленные соот­ношения перепишутся в виде

В приложении 1 приведена таблица, содержащая данные о 100a-про-центных точках функции распределения r(k).

Если последовательность значений содержит тренд, то это означает, что вероятность знаков (+) или (-) меняется от одного наблюденного значения к другому. Нали­чие тренда можно проверить следующим образом. Рассмотрим гипотезу об отсутствии тренда, т. е. предположим, что полученные данные представляет собой независимые значения одной и той же случайной величины. Полагая, что число наблюденных значений со знаком (+) равно числу значений со знаком (-), можно считать, что число серий в последовательности будет иметь выборочное распределение, представленное в приложении 1. Гипотезу можно подвергнуть проверке при любом уровне значимости a путем сопоставления фактического числа серий с гра­ничными значениями r_{n; 1-a/2} и r_{n; a/2}, где n=N/2 . Если фактическое число серий выходит за границы этого интервала, гипотезу следует отвергнуть при выбранном уровне значимости. В противном случае ее можно принять.

Например, имеется последовательность из N=20 чисел: 5,5; 5,1; 5,7; 5,2; 4,8; 5,7; 5,0; 6,5; 5,4; 5,8; 6,8; 6,6; 4,9; 5,4; 5,9; 5,4; 6,8; 5,8; 6,9; 5,5.

Определим, являются ли независимыми наблюденные значения, путем проверки числа серий, которые встречаются, если отсчитывать наблю­денные значения от их медианы. Выполним проверку при уровне значимости a = 0,05.

Просматривая выборку, можно убедиться, что медианой данного ряда является значение x = 5,6. Примем, что числа более 5,6 имеют знак (+), а менее 5,6 - знак (-). В результате получаем последовательность

- - + - - + - + - + + + - - + - + + + -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Таким образом, имеется 13 серий, представляющих последователь­ность 20 наблюденных значений.

Рассмотрим гипотезу о независимости наблюденных значений. Область принятия этой гипотезы опреде­ляется интервалом [r_{10; 1-a/2} < r £ r_{10; a/2}].
По данным приложения 1 при a = 0,05 находим r_{10; 1-a/2} = r_{10; 0,975} = 6 и
r_{10; a/2} = r_{10; 0,025} = 15. Нулевая гипотеза принимается, так как значение r = 13 входит в интервал между 6 и 15. Другими словами нет причин подвергнуть сомнению то обстоятель­ство, что наблюденные значения независимы. Это значит, что нет никаких доказательств присутствия тренда.

Критерий инверсий

Рассмотрим последовательность N значений слу­чайной величины x(k). Обозначим эти значения символом x_i, где i == 1, 2, 3, ..., N.

Подсчитаем теперь число случаев, когда x_i > x_j, при i<j. Каждое такое неравенство называется инверсией. Общее число инверсий обозначается символом А, которое формально определяется так.

По ряду значений x₁, x₂ …, x_N определим величину

.

Тогда где

Например,

и т.д.

Для примера рас­смотрим последовательность N = 8 значе­ний: x₁=5, x₂=3, x₃=8, x₄=9, x₅=4, x₆=1, x₇=7, x₈=5. В этой последовательности x₁ > x₂, x₁ > x₅ и
x₁ > x₆, откуда находим А₁ = 3 инверсиям для x₁. Сопоставляя значение x₂ с последующими значениями ряда (т. е. при i = 2 и i < j = 3, 4,..., 8), можно найти, что x₂ > x₆ и только. Поэтому число инверсий для x₂ составляет A₂ = 1. Продол­жая анализ, можно видеть, что A₃ = 4, A₄ = 4, A₅ = 1, A₆ = 0, A₇ = 1. Общее число инверсий составит A = A₁ + A₂ + … + A₇ = 3+1+4+4+1+0+1 = 14 .

Если последовательность N наблюдений содержит независимые значения одной и той же случайной величины, то число инверсий есть случайная величина А(k) со средним значением

и дисперсией

В приложении 2 содержатся данные о 100a-процентных точках функции распределения величины А(k).

Критерий инверсий вообще говоря, имеет большую мощность, чем критерий серий, при выявлении монотонного тренда в последователь­ности наблюдений. Однако критерий инверсий обладает малой мощностью при выявлении колебательного тренда.

Например, проверим последовательность N = 20 значений, рассмотренных ранее, на наличие тренда при уровне зна­чимости a = 0,05. Число инверсий в этом случае таково:

Общее число инверсий А= 62.

Рассмотрим гипотезу о том, что наблюдения представляют неза­висимые значения случайной величины х(k), не содер­жащей тренда. Область принятия гипотезы определяется неравенством A_{20; 1-a/2} < A £ A_{20; a/2}. По данным приложения 2 при a = 0,05 находим A_20;1-a/2=A_20;0,975 = 64 и A_20;a/2=A_20;0,025= 125.

Следовательно, гипотезу отвергают при 5%-ном уровне значимости, так как значение А = 62 не попадает в интервал между 64 и 125.

Заметим, что гипотеза о независимости этой же последовательности значений при использовании критерия серий была принята. Этот факт иллюстрирует разницу в чувствительности двух методов проверки.

Таблица 11 – Таблица исходных данных и расчетных показателей динамического ряда

(изменения стоимости зернокомбайна «Дон 1500» во времени)

3.5. Средние показатели рядов динамики

Средние показателирядов динамики являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения уровней ряда динамики. Различают следующие средние показатели: средний уровень ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Методы расчета среднего уровня ряда динамики зависят от его вида и способов получения статистических данных.

В интервальном ряду динамики с равноотстоящимиуровнями во времени расчет среднего уровня ряда производиться по формуле средней арифметической простой:

.

Средний уровень ряда для цены зернокомбайна по исходным данным

составляет:

Рср = 10333219/15=688881,26 руб

Если интервальный ряд динамики имеет не равноотстоящиеуровни, то средний уровень ряда вычисляется по формуле

,

где t – число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.

Для моментального ряда сравноотстоящимиуровнями средняя хронологическаярассчитывается по формуле

,

где n – число уровней ряда.

Средняя хронологическая для неравноотстоящих уровнеймоментного ряда динамики вычисляется по формуле

.

Определение среднего абсолютного прироста производится по цепным абсолютным приростам по формуле:

или .

Средний абсолютный прирост для цены комбайна «Дон 1500» составляет

85322,34/14=6094,5 руб

Среднегодовой темп роста вычисляется по формуле средней геометрической:

, или

,

где m – число коэффициентов роста.

Среднегодовой темп роста для зернокомбайна составляет:

Среднегодовой темп прироста получим, вычтя из среднего темпа роста 100%.

Среднегодовой темп прироста для зернокомбайна «Дон 1500» составляет 15 %.