На основе уравнения регрессии

Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как и при всяком моделировании является понятие адекватности модели, т.е. соответствия модели моделируемому объекту или процессу. Адекватность модели является условным понятием, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что характерно и для экономико-математического моделирования. При моделировании имеется ввиду не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. Проверка адекватности экономико-математических моделей является серьезной проблемой, так как эту проблему осложняет трудность измерения экономических величин. Однако без такой проверки применение результатов моделирования в управленческих решениях может не только оказаться малополезным, но и принести существенный вред.

Проверкаадекватности регрессионных моделей начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. Для этого проверяют гипотезу равенства нулю коэффициентов уравнения, либо проверку значимости уравнения регрессии, а также гипотезу адекватности уравнения, т.е. его способности предсказывать значения функции по значению аргумента (достаточна ли точность прогнозирования) (или пригодности уравнения для целей управления):

Значимость коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t- критерия Стьюдента:

( 20 )

где σ²_bi - дисперсия коэффициента регрессии.

Параметр модели признается статистически значимым, если

t_расч t_кр (α; n = n-k-1 ),

где α - уровень значимости; n= n – k - 1 - число степеней свободы, которое характеризует число свободно варьирующих элементов совокупности.

Величина дисперсии коэффициента регрессии может быть приближенно определена по выражению:

σ_bo= σ_ост х ( 21)

σ_b1= (22 )

(23)

Для проверки значимости модели, полученной по данным активного эксперимента с несколькими повторностями используется F-критерий (критерий Фишера):

, (24)

где Y_теор- предсказанное по уравнению регрессии значение; Y_i – экспериментальное значение; - среднее значение; n – число пар экспериментальных значений; а – число коэффициентов уравнения регрессии.

Если F_расч. > F _табл при заданном уровне значимости, то уравнение регрессии значимо.

Число степеней свободы числителя n₁ равно числу коэффициентов модели без а₀, т.е. n₁=1.

Число степеней свободы знаменателя n₂ равно числу экспериментальных пар значений за вычетом числа коэффициентов уравнения регрессии а.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета
F-критерия и величины средней ошибки аппроксимации .

Если F_расч> F_α при α = 0,05 или α = 0,01, то Н_о - гипотеза о несоответствии заложенных в уравнении регрессии связей реально существующим отвергается.

Величина F_α определяется по специальным таблицам на основании значения α = 0,05 или α =0,01 и числа степеней свободы: ν₁ = k - 1, ν₂ = n - k, где n - число наблюдений, k - число факторных признаков в уравнении.

Значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать 12 - 15%

(23)

Наиболее сложным этапом, завершающим регрессионный анализ, является интерпретация уравнения, т. е. перевод его с языка и математики на язык экономики.

Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относятся исследуемые явления. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков, т.е. с выяснения, как они влияют на величину результативного признака. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на моделируемый. Особое значение при этом имеет знак перед коэффициентом регрессии. Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если коэффициент при факторном признаке имеет знак плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если знак минус, то с увеличением факторного признака результативный признак уменьшается. Интерпретация этих знаков полностью определяется социально-экономическим содержанием моделируемого (результативного) признака. Если его величина изменяется в сторону увеличения, то плюсовые знаки факторных признаков имеют положительное влияние. При изменении результативного признака в сторону снижения положительное значение имеют минусовые знаки факторных признаков. Если экономическая теория утверждает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он со знаком минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии. Такое явление чаще всего бывает в силу допущенных ошибок при решении. Однако следует иметь в виду, что при анализе совокупного влияния факторов, при наличии взаимосвязей между ними характер их влияния может меняться. Для того чтобы быть уверенным, что факторный признак изменил знак влияния, необходима тщательная проверка решения данной модели, так как часто знаки могут меняться в силу допущенных ошибок при сборе или обработке информации.

При анализе адекватности уравнения регрессии исследуемому процессу возможны следующие варианты.

1. Построенная модель на основе ее проверки по F-критерию в целом адекватна, и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений и осуществления прогнозов.

2. Модель по F-критерию Фишера адекватна, но часть коэффициентов регрессии незначима. В этом случае модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозирования.

3. Модель по F-критерию Фишера адекватна, но все коэффициенты регрессии незначимы. В этом случае модель полностью считается неадекватной. На ее основе не принимаются решения и не осуществляются прогнозы.