Щільність розподілу ймовірностей n-вимірного закону Гаусса. Незалежність та некорельованість компонент нормально розподіленого вектора.

Означення 19.1. Неперервний випадковий вектор називається гауссівським або нормальним, якщо його щільність розподілу має вигляд

, (19.1)

де вектор визначає центр розсіювання нормального розподілу в , матриця є кореляційною матрицею випадкового вектора , відповідно – обернена до неї матриця.

Введемо в евклідовому просторі ортонормований базис із власних векторів матриці , що відповідає некорельованості компонент гауссівського вектору. Це зробити можливо внаслідок симетричності матриці. Кореляційна матриця в цьому базисі набуває діагонального вигляду, де на головній діагоналі стоять власні значення матриці :

,

де – стандартне відхилення компоненти , .

Отже,

,

визначник кореляційної матриці в цьому базисі дорівнює , оберненою до матриці буде матриця

.

Тоді скалярний добуток у формулі (19.1) розписується так:

.

Щільність розподілу нормально розподіленого вектора набуває вигляду

. (19.2)

Неважко зрозуміти, що права частина формули (19.2) співпадає з добутком щільностей розподілу окремих компонент , які мають розподіл Гаусса з параметрами та відповідно. Тобто , де . Це означає незалежність у сукупності випадкових величин , .

Отже, якщо координати гауссівського випадкового вектора попарно некорельовані, то вони будуть незалежними у сукупності, тобто для координат гауссівського вектору поняття незалежності та некорельованості рівносильні.

Приклад 19.1. Знайти розподіл довжини гауссівського вектора , центр розсіювання якого співпадає з початком координат і кореляційна матриця має вигляд

.

Розв’язання. Виходячи з умови задачі та формули (19.2), щільність розподілу гауссівського вектора має вигляд

.

Введемо випадкову величину . Для знаходження розподілу цієї величини необхідно знайти ймовірність події , де – дійсне число. Зрозуміло, що , якщо . Нехай . Використаємо властивість 7 щільності розподілу неперервного випадкового вектора:

.

Отже, функція розподілу довжини випадкового вектора має вигляд

Цей розподіл називається розподілом Максвела.

Приклад 19.2. Щільність розподілу ймовірностей нормально розподіленого вектора має вигляд

.

Записати кореляційну матрицю цього вектора та знайти геометричне місце точок, для яких щільність розподілу ймовірностей дорівнює 0,01.

Розв’язання. Із вигляду даної щільності розподілу випадкового вектора випливає

,

де ,

.

Порівнюючи ці функції з функціями, що задають щільності розподілів ймовірностей одновимірного та двовимірного законів Гаусса, маємо

, , ,

, , , .

Отже, кореляційна матриця має вигляд

.

Для перевірки отриманого результату знайдемо коефіцієнт щільності розподілу

.

Геометричним місцем точок із постійною щільністю розподілу ймовірностей є поверхня еліпсоїда

.

У випадку незалежності компонент нормально розподіленого випадкового вектора можна знайти ймовірність попадання випадкової точки в n-вимірний прямокутний паралелепіпед із сторонами, які паралельні координатним осям, використовуючи функцію Лапласа:

,

де , – координати границь прямокутного n-вимірного паралелепіпеда в напрямі вісі , та – параметри випадкової компонент .