Операції над подіями

Оскільки випадкові події – це підмножини простору елементарних подій , то операції над множинами можна перенести на операції над подіями.

Включення АÌВ означає, що подія В відбулася, якщо відбулася подія А. Тобто з появи події А випливає поява події В. Очевидно , .

Приклад 1.7. Із колоди у 52 гральні карти навмання виймають одну карту. Розглянемо дві випадкові події: ={витягнута карта – пікової масті}, = {витягнута карта – чорної масті}. Очевидно, що .

Об’єднанняподій А В – це подія, яка відбувається, якщо відбувається хоча б одна з подій А або В. Об’єднувати можна і нескінченну кількість подій. Результат цієї операції позначають через _n.

Приклад 1.8. Гральний кубик підкидається один раз. Випадкова подія полягає в тому, що випаде 2 очка, випадкова подія полягає в тому, що випаде парна кількість очок. Об’єднання А В – це випадкова подія, яка полягає в тому, що випаде парне число очок.

Мають місце такі властивості операції об’єднання випадкових величин:

1. ; 2. ;

3. якщо , то ; 4. ;

5. ; 6. .

Перетин подій А В – це подія, яка відбувається, якщо відбувається і подія А, і подія В. Перетинати можна і нескінченну кількість подій. Результат цієї операції позначають через _n.

Приклад 1.9. Гральний кубик підкидається два рази. Розглянемо три випадкові події, пов’язані із значенням суми двох очок, що випали при двох підкиданнях: ={сума очок не перевищує 5}; ={сума очок більше 7}; ={сума очок менша 8}. Очевидно, що

.

Мають місце такі властивості операції перетину випадкових величин:

1. ; 2. ;

3. ;

4. якщо , то ;

5. ;

6. ;

7. , ;

8. .

Означення 1.7. Випадкові події та називаються несумісні, якщо вони не можуть відбуватися одночасно, тобто .

Події А₁, А₂, ..., А_n утворюють повну групу подій:

а) якщо _i = W; б) якщо А_i А_j=Æ, i¹j; такі події називаються попарно несумісними.

Приклад 1.10. Виконується два постріли в мішень. Розглянемо події А ={одне влучення в мішень}, B ={два влучення в мішень}, С ={жодного влучення в мішень}. Ці події утворюють повну групу подій.

Кожній події А можна поставити у відповідність протилежнуподію , яка відбувається тоді, коли А не відбувається. Очевидно, та

Приклад 1.11. Папірці із літерами розрізаної абетки навмання розкладають один за одним. Випадкова подія полягає в тому, що принаймні одна літера влучить на те місце, яке відповідає її розташуванню у абетці. Тоді протилежна їй подія полягає в тому, що жодна літера не буде на своєму місці за абеткою.

В багатьох задачах теорії ймовірностей зустрічається термін “таблиця випадкових чисел”. Ці таблиці можна будувати різними методами. Запропонуємо один із них. Нехай на папірці нескінченної довжини записано число 0 та всі числа натурального ряду. Розріжемо цей папірець на окремі таким чином, щоб на кожному із них залишилась записаною лише одна цифра. Потім всі папірці перемішують і навмання витягають один. Цифру, що записана на цьому папірці, заносять у таблицю, а папірець повертають до всіх інших. Цю процедуру повторяють нескінчену кількість разів. Так отримують таблицю випадкових чисел. Аналогічно можна будувати таблицю двозначних випадкових чисел, вибираючи кожен раз навмання два числа і т. д.

Приклад 1.12. Із таблиці випадкових чисел навмання відбирається число. Випадкова подія полягає в тому, що це число закінчується на цифру 5 або 0. Протилежна подія полягає в тому, що це число не ділиться на 5.

РізницяА\В подій – це подія, що відбувається тоді, коли відбувається подія А і не відбувається подія В. Очевидно, що = =W\A, А\В = .

Мають місце правила де Моргана:

= , .