Масса системы. Центр масс

Движение систем зависит не только от действующих на нее сил, но и от ее суммарной массы и ее распределения в системе. Распределение массы в системе характеризуется:

Ø координатами центра масс;

Ø осевыми моментами инерции;

Ø центробежными моментами инерции;

Ø моментами инерции относительно плоскости.

Точка С, координаты которой определяются следующими выражениями, называется центром масс (центром инерции):

12.2.3 Моментом инерции точки К относительно оси Z называют положительную величину равную произведению массы точки на квадрат ее расстояния до оси :

, .

Моментом инерции механической системы (тела) относительно оси Z (осевым моментом инерции) называется положительная величина равная сумме моментов инерции всех ее точек относительно этой оси:

.

Осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, поэтому его называют вращательной массой.

В декартовой системе координат

;

В случае сплошной среды

.

Вводят характеристику, не зависящую от формы тела, - радиус инерции ρ. Радиус инерции - это расстояние от оси Z до такой точки, в которую следует поместить всю массу тела M, чтобы момент инерции этой точки равнялся моменту инерции тела относительно этой оси.

.

12.2.3 Моменты инерции некоторых однородных тел:

Момент инерции тонкого однородного стержня длиной l, массой m относительно оси Z перпендикулярной ему и проходящей через центр масс .
Момент инерции тонкого однородного стержня длиной l, массой m относительно оси Z перпендикулярной ему и проходящей через центр масс .
Момент инерции сплошного однородного диска (сплошного цилиндра) относительно его оси симметрии .
Момент инерции тонкого однородного кольца (полого цилиндра) относительно оси симметрии
Момент инерции прямоугольной сплошной тонкой пластины
Момент инерции сплошного конуса (круглого) относительно оси симметрии .
Момент инерции сплошного шара относительно оси проходящей через его центр .
Момент инерции однородного кольца относительно оси проходящей через его центр в плоскости кольца
Момент инерции сплошного однородного диска относительно оси проходящей через его центр в плоскости диска	Z

12.2.4 Теорема Гюйгенса: Момент инерции тела относительно данной оси OZ равен моменту инерции относительной оси ей параллельной и проходящей через центр масс CZ' плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

-момент инерции тела относительно оси проходящей через центр масс всегда наименьший.

12.2.5 Центробежные моменты инерции равны:

;

.