Тема 8. Линейное программирование

Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования

Рассмотрим математические модели некоторых важных экономических задач.

Задача о банке.

Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами составляют 100 млн долл. Часть этих средств, но не менее 35 млн долл., должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, т.к. в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.

Другое дело ценные бумаги (особенно государственные). Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль, или, во всяком случае, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определённой пропорции ликвидные активы – ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. В нашем примере ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещённых в кредитах и ценных бумагах.

Пусть х – средства (млн долл.), размещённые в кредитах, у – средства, вложенные в ценные бумаги. Имеем следующую систему ограничений:

– балансовое ограничение;

– кредитное ограничение;

– ликвидное ограничение;

Цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бумаг:

при условии 1)-4),

где – доходность кредитов, – доходность ценных бумаг.

Т.к. кредиты менее ликвидны, чем ценные бумаги, то обычно . Мы пришли к задаче линейного программирования с ограничениями 1)-4) и целевой функцией , которую требуется максимизировать.

Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства)

Для производства 2-х видов продукции Р₁ и Р₂ используют 4 вида ресурсов r₁, r₂, r₃ и r₄. Запасы ресурсов и их расход для изготовления единицы продукции каждого вида приведены в таблице:

Прибыль, получаемая от реализации единицы продукции Р₁ и Р₂, равна соответственно 2 и 3 ден. ед.

Требуется составить математическую модель задачи с целью найти такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет наибольшей.

Решение.

Для построения математической модели:

1. Введем управляющие переменные.

Обозначим x₁ – количество единиц продукции Р₁,

x₂ – количество единиц продукции Р₂.

По смыслу задачи переменные неотрицательны: x₁ ≥0, x₂ ≥0,

2. Построим функцию цели.

Прибыль от реализации продукции Р₁ составит 2x₁ ден. ед., прибыль от реализации продукции Р₂ составит 3x₂ ден. ед.

Функция цели - суммарная прибыль - должна быть максимальной и описывается выражением: F=2x₁ +3x₂ → max

3. Построим систему функциональных ограничений.

Расход каждого ресурса для изготовления продукции Р₁ и Р₂ в количестве x₁ и x₂ соответственно описывается выражением:

ресурса r₁ - 1x₁ +3x₂

ресурса r₂ - 2x₁ +1x₂

ресурса r₃ - 0x₁ +1x₂

ресурса r₄ - 3x₁ +0x₂

Потребление ресурсов не должно превышать их запасов, поэтому связь между потреблением и запасами ресурсов выразится системой неравенств:

Таким образом, математическая модель задачи построена:

Найти такой план выпуска продукции ,

при котором прибыль максимальна

и выполнены ограничения

Задача о составлении рациона(о диете, о смесях)

Имеется два вида корма К₁ и К₂. Данные о содержании витаминов в 1кг каждого вида корма, необходимый минимум этих витаминов и стоимость 1кг каждого вида корма приведены в таблице:

Требуется составить экономико-математическую модель задачи с целью найти дневной рацион, имеющий минимальную стоимость и содержащий не менее установленного предела каждого вида питательных веществ.

Решение.

1. Введем управляющие переменные:

Обозначим - количество кормов К₁ и К₂, входящих в дневной рацион.

По смыслу переменные неотрицательны:

2. Функция цели - общая стоимость дневного рациона питания – описывается выражением и должна быть минимальной:

3. Построим систему ограничений.

Рацион будет включать следующие количества витаминов:

единиц витамина А,

единиц витамина В,

единиц витамина С.

Учитывая установленные пределы содержания питательных веществ, получим систему неравенств:

Таким образом, математическая модель задачи получена:

Составить дневной рацион ,стоимость которого минимальна

и выполнены заданные ограничения