Методика составления дифференциальных уравнений элементов и систем

При составлении уравнений динамики элементов и САУ в целом целесообразно производить некоторую их идеализацию (пренебрежение распределенными емкостями, индуктивностями и т.п.). Это позволяет упростить процедуру получения математической модели САУ. Такую идеализацию следует производить, учитывая свойства элементов и всей системы в целом.

Рассмотрим одну из методик составления уравнений динамики САУ, которая заключается в следующем:

1. Систему разбивают на отдельные элементы, работа каждого из которых может быть описана некоторым физическим законом.

2. Выявляют физические законы, определяющие протекание процессов в элементе (закон сохранения энергии, 2-й закон Ньютона, закон сохранения вещества, законы Кирхгофа и др.). Математические выражения этих законов и являются исходными уравнениями элемента.

3. Определяют факторы, от которых зависят переменные, входящие в исходные уравнения, и находят конкретные выражения, характеризующие эти зависимости. После подстановки найденных выражений в исходные уравнения обычно получаются нелинейные уравнения исследуемого элемента.

4. Анализируют возможность упрощения полученных уравнений путем их линеаризации. Если линеаризация допустима, то в качестве уравнения динамики рассматривается линеаризованное дифференциальное уравнение.

5. Записывают линейные или линеаризованные уравнения элемента в стандартной форме дифференциального линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Для этого переносят все члены уравнения, включающие выходную величину и ее производные, в левую его часть, а зависящие от входной величины, возмущающего воздействия и их производных – в правую часть, располагают их в порядке убывания производных и, наконец, делят все члены уравнения на коэффициент при выходной величине.

6. В случае необходимости переходят от уравнений в абсолютных единицах с членами определенной размерности к уравнениям в относительных единицах с безразмерными коэффициентами или с коэффициентами, имеющими размерность времени и степени, равной порядку производной.

Переход осуществляют следующим образом. Так как члены уравнения каждого элемента имеют размерность, соответствующую размерности переменной элемента, то выбирают номинальное значение данной переменной и делят все члены этого уравнения на выбранную величину с соответствующей размерностью. Следовательно, каждый член уравнения становится безразмерным.

Для перехода к относительным единицам выбирают некоторые постоянные значения для каждой из переменных, входящих в данное уравнение. Каждый член уравнения делят и умножают на выбранную постоянную величину, соответствующую данной переменной. В этом случае коэффициенты в уравнении становятся безразмерными, а переменные выражены в относительных единицах.

7. Совокупность дифференциальных уравнений отдельных элементов САУ образует систему совместных в общем случае дифференциальных уравнений САУ, где выходная переменная каждого предыдущего элемента является входной переменной каждого последующего. Исключая промежуточные переменные, получают одно дифференциальное уравнение САУ, устанавливающее связь между регулируемой координатой и задающим воздействием.