Общее уравнение Шредингера нерелятивистской квантовой механики

Статистическое толкование волн де Бройля (см. §216) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. §215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции y(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |y|², определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами х и х+dх, у и y+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть во­лновым уравнением,подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

где h=h/(2p), m — масса частицы D—оператор Лапласа (Dy=д²y/дx² +д²y/дy²+д²y/дz²), i — мнимая единица, U(х, у, z, t)— потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, y(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы. Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. §225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. §216); 2) производные дy/дx, дy/дy, дy/дz, дy/дt должны быть непрерывны; 3) функция |y|² должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3). Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) x(x,t)=Acos(wt-kx), или в комплексной записи x(х,t)=Aе^i(wt-kx). Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид y=Ae^{-(i/h)(Et-px)} (217.2) (учтено, что w=E/h, k=p/h). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только|y|², то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда