Отношение эквивалентности в ИВ
Определим эквивалентность формул в исчислении высказываний.
Определение 1. Формулы U и B называются эквивалентными, что обозначается |- , если
|- (1)
Рассмотрим некоторые простые свойства отношения эквивалентности.
1. Рефлексивность: |- .
2. Симметричность: если |- , то |- .
3. Транзитивность: если |- и |- , то |- .
Задание 1. Доказать свойство симметричности отношения эквивалентности.
Решение.
1. |-
2. |-
3. |-
Из свойств отношения эквивалентности следует, что множество формул исчисления высказываний разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу формул (классы эквивалентности). Следовательно, все теоремы исчисления высказываний образуют один класс эквивалентных формул.
В исчислении высказываний имеют место следующие эквивалентности, которые соответствуют аналогичным свойствам отношения эквивалентности алгебры высказываний.
1. |- .
2. |-
3. |-
4. |-
5. |-
6. |-
7. |-
8. |-
9. |-
10. |-
11. |-
12. |-
Для того чтобы доказать эквивалентность |- в исчислении высказываний достаточно построить выводы |- и |- . Покажем, что если |- и |- , то |- .
1. |- | по условию |
2. |- | по условию |
3. |- | 5 (1) |
4. |- | 5 (2) |
5. , |- | |
6. |- | 4 (3, 4, 5) |
Последняя формула, в силу определения, означает ú- .
Теорема эквивалентности.Если и - формулы, полученные заменой некоторых (одних и тех же) вхождений какой-либо высказывательной переменной в формуле U соответственно формулами и , то
|- .
Следствие. Если есть некоторая подформула формулы U и эквивалентна формуле , то формула, полученная заменой в формуле Uна , эквивалентна U. Иными словами, если , то .
Свойства 2, 4, 10 и теорема эквивалентности позволяют формулу, составленную из высказывательных переменных лишь с помощью операции дизъюнкции, преобразовать к виду
.
Аналогично формула, составленная из с помощью операции конъюнкции эквивалентна формуле
.
Это позволяет дать определение понятиям нормальных форм исчисления высказываний, которые совпадают с соответствующими определениями алгебры высказываний.
Теорема 3.1. Для каждой формулы исчисления высказываний существуют эквивалентные ей дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы.
Дата добавления: 2016-06-13; просмотров: 872;