Основные общезначимости алгебры предикатов
1.
2.
3.
4.
5.
Докажем формулу .
Так как единственная переменная в обеих частях эквиваленции связана, то обе они являются высказываниями. Поэтому для доказательства общезначимости формулы, покажем, что истинностные значения левой и правой части совпадают для любых одноместных предикатов , определённых на произвольном множестве M.
Пусть , тогда по определению операции утверждения существования для некоторого a из M. Следовательно, , где M. Воспользовавшись снова определением операции утверждения существования, получим, что или , а, следовательно, истинна и их дизъюнкция .
Пусть теперь , тогда или . В первом случае получим, что M, , во втором – M, . Однако в обоих случаях существует такой элемент M, что , в первом случае , во втором – . А это означает, что .
На множестве формул алгебры предикатов можно ввести отношение эквиваленции.
Определение.Формула алгебры предикатов U называется эквивалентной формуле V (обозначается UºV), если их эквиваленция общезначима.
Множество формул алгебры предикатов можно разбить на классы эквивалентности, включив в один класс эквивалентные между собой формулы. Каждой формуле U соответствует класс эквивалентности, который обозначается [U].
Определение.Формула алгебры предикатов называется приведенной, если она содержит операции утверждения всеобщности, существования, конъюнкции, дизъюнкции и операцию отрицания, относящуюся к атомарным формулам.
Теорема 3.1. Каждый класс эквивалентности [U] может быть представлен приведенной формулой, т.е. для любой формулы U существует эквивалентная ей приведенная формула V.
Для формул алгебры предикатов существуют предваренные нормальные формы.
Определение.Предваренной нормальной формой (ПНФ) формулы алгебры предикатов называется формула, имеющая вид
,
где – некоторые кванторы, а U – бескванторная приведенная формула. Выражение называется префиксом, а U – матрицей нормальной формы.
Будем говорить, что бескванторная формула U находится в ДНФ (КНФ), если U получается из формулы алгебры высказываний, находящейся в ДНФ (КНФ), подстановкой вместо пропозициональных переменных некоторых атомарных формул.
ПНФ называется пренексной нормальной формой (ПННФ), если её матрица имеет вид ДНФ, и предклазуальной (пкнф), если – КНФ.
Построим ПН-форму для формулы
.
Преобразуем формулу к приведенному виду
º
º º
º .
Так как для квантора " и операции Ú нет соответствующей эквивалентности, то переименуем связанную переменную y второго операнда дизъюнкции и вынесем кванторы по переменным, от которых не зависит другой операнд вперёд
º
º º
º .
В первом операнде конъюнкции последней формулы переменные x и y – связанные, а z – свободная, а во втором – наоборот. Переобозначив снова связанные переменные, получим
º
º º
º .
Полученная предваренная нормальная форма является предклазуальной.
Использование формул алгебры предикатов в информационных технологиях породило необходимость преобразования формул в бескванторные, так как работать с такими формулами значительно легче, чем с формулами, содержащими кванторы. Основой такого преобразования являются аксиомы Сколема:
1) Þ ;
2) Þ .
Возможность удаления кванторов всеобщности непосредственно следует из определения операции, так как для произвольного x.
Формула U находится в клазуальной нормальной форме, если она получена из формулы, находящейся в предклазуальной нормальной форме, удалением кванторов существования в соответствии с аксиомами Сколема и последующим удалением всех кванторов всеобщности. Процесс такого преобразования называется сколемизацией.
Так клазуальная нормальная форма для формулы предыдущего примера имеет вид
.
Дата добавления: 2016-06-13; просмотров: 641;