Взаимодействие нейтронов с ядрами

Формула Брейта-Вигнера для изолированного уровня – сечение образования составного ядра при захвате нейтрона с l = 0:

.

(4.1)

Нейтронов с энергией меньше 10 кэВ, а именно в этом энергетическом диапазоне расположены, в основном, резонансы, имеют де-бройлевскую длину волны > 4,5·10^-12 см (см. формулу 4.5), которая существенно превышает размер даже самых тяжелых ядер. Поэтому такие нейтроны могут взаимодействовать с ядрами только с орбитальным моментом l = 0 и в этом случае им не нужно преодолевать центробежный барьер.

В формуле (4.1): - кинетическая энергия налетающего нейтрона; Т₀ – кинетическая энергия нейтрона, соответствующая образованию рассматриваемого уровня составного ядра; g - статистический фактор; I - спин ядра мишени; J - спин рассматриваемого уровня составного ядра; s = 1/2 – спин нейтрона; Г и Г_n – полная и нейтронная ширина уровня (см. задачу 4.6).

Нейтронная ширина уровня

,

(4.2)

где - длина волны нейтрона и нейтронная ширина уровня при Т_n = Т₀.

Основные параметры резонансов представлены на рис. 4.1. Г₁ и Г₂ – ширины резонансной кривой на половине высоты соответствующего максимума. Остальные обозначения очевидны.

Уровень называется изолированным (уединенным), если

.

(4.4)

Де-бройлевская длина волны нейтрона

, см.

(4.5)

Центробежный барьер для нейтрона

,

(4.6)

где - приведенная масса ядра и нейтрона.

Задача 4.1

Получить с помощью квазиклассических рассуждений выражение для прицельного параметра b бомбардирующего нейтрона. Вычислить первые три возможных значения b для нейтронов с кинетической энергией T_n = 1,00 МэВ.

Решение

Величина момента импульса частицы (орбитального момента) относительно произвольной точки «О»

,

где b – прицельный параметр; Р – величина импульса. В квантовой механике величина может принимать значения:

,

где l = 0, 1, 2, . . . – квантовое число момента. Из двух последних соотношений получаем возможные значения

.

(4.1.1)

Вычислим по формуле (4.5) длину волны де-Бройля для нейтрона с кинетической энергией T_n = 1,00 МэВ:

= 4,55·10-13 см.

(4.1.2)

Соответственно первые три значения прицельного параметра равны: 0; 6,4 и 11,2 Фм.

Задача 4.2

Найти максимальное значение b_max прицельного параметра при взаимодействии нейтрона с кинетической энергией T_n = 5,00 МэВ с ядрами Ag.

Решение

Будем считать, что ядро имеет сферическую форму, а максимальное значение b_max прицельного параметра нейтрона не должно превышать величины , которая определяет зону действия ядерных сил между нейтроном и ядром. Тогда, используя 4.1.1, имеем

.

4.2.1

Из выражения 4.2.1 для известных величин определяется l_max, а затем по формуле 4.1.1 находим b_max.

Вычисления для радиуса ядра по формуле (1.1) дают R_я = 6,7·10^-13 см, а для длины волны нейтрона с энергией T_n = 5,00 МэВ по формуле (4.5) получаем = 2,0·10^-13 см. Таким образом, l_max = 3 и, согласно формуле (4.1.1), b_max = 7·10^-13 см.

Задача 4.3

Показать, что для нейтронов с длиной волны геометрическое сечение взаимодействия с ядром , где R – радиус ядра. Оценить эту величину для нейтронов с энергией T_n = 10 МэВ, налетающих на ядро Au.

Решение

Для того чтобы нейтрон попал в зону действия ядерных сил, его прицельный параметр не должен превышать величины . Поэтому проводя из центра ядра окружность радиуса R = , получим оценку геометрического сечения взаимодействия нейтрона с ядром . Для золота и нейтрона с кинетической энергией T_n = 10 МэВ (используя формулы (1.1) и (4.5), получим

2,9·10^-24 см² = 2,9 барн.

Задача 4.4

Оценить максимальную величину центробежного барьера для нейтронов с кинетической энергией T_n = 7,0 МэВ при взаимодействии с ядрами Sn.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой (4.6)

.

4.4.1

Приведенная масса системы нейтрон – ядро Sn составляет

а.е.м.

4.4.2

Радиус ядра (см. формулу (1,1))

см.

Длину волны нейтрона определим по формуле (4.5)

см.

Максимальную величину орбитального момента нейтрона оценим, используя формулу 4.2.1:

,

подставив в которую значения , получим l_max = 3.

Искомая высота центробежного барьера

МэВ.

Задача 4.5

Найти вероятность того, что в результате взаимодействия медленных нейтронов (l = 0) с ядрами, спин которых I = 1, составное ядро образуется в основном состоянии со спином J = 3/2. Считать, что спины нейтронов и ядер до взаимодействия имеют всевозможные взаимные ориентации.

Решение

Связанное состояние, которым является составное ядро, имеет вектор спина , где – вектор спина нейтрона. Сложение векторов есть сложение их проекций на выбранное направление в пространстве как алгебраических чисел. Каждый из векторов имеет по (2s + 1) или (2I +1) проекций соответственно. Для получения всех возможных проекций вектора , каждая из возможных проекций вектора складывается с одной из проекций вектора . Всего таких суммарных проекций оказывается (2s + 1)(2I +1), каждая из которых реализуется с равной вероятностью. Таким образом, возможны (2s + 1)(2I +1) различных способов образования составного ядра. Число же возможных и равновероятных проекций вектора составляет (2J +1), а относительная вероятность образования составного ядра со спином J составит (ср. с формулой (4.1))

.

Задача 4.6

Исходя из формулы Брейта-Вигнера для сечения σ_а образования составного ядра, получить выражение для сечений процессов упругого рассеяния σ_nn и радиационного захвата σ_nγ нейтрона.

Решение

Вероятность распада (постоянная распада) составного ядра в единицу времени с одного из рассматриваемых изолированных (уединенных) уровней

,

4.6.1

где - вероятности распада составного ядра по каналам (n,n) и (n,γ) соответственно, если других каналов распада составного ядра нет. Учитывая связь между постоянной распада λ и средним временем τ жизни ядра, из 4.6.1 получим

.

4.6.2

Из соотношения неопределенностей и 4.6.2, предполагая, что измерения производятся с наилучшей точностью, получим

,

(4.6.3)

т.е. полная ширина есть сумма парциальных ширин. Таким образом, относительные вероятности распада составного ядра по каналам (n,n) и (n,γ) будут равны соответственно

,

(4.6.4)

а соответствующие сечения

,

(4.6.5)

Задача 4.7

Выразить с помощью формулы Брейта-Вигнера сечение радиационного захвата нейтрона σ_nγ от его кинетической энергии T_n, если известно сечение σ₀ данного процесса при T_n = Т₀ и значения Т₀ и Г.

Решение

Из формул (4.1) и (4.6.5) получаем формулу Брейта-Вигнера для сечения радиационного захвата

.

(4.7.1)

Тогда

.

(4.7.2)

Разделив (4.7.1) на (4.7.2), получим

.

(4.7.3)

Так как формула (4.1) Брейта-Вигнера записана для l = 0 (T_n < 10 кэВ), то можно положить Г_γ ≈ const, так как энергия возбуждения составного ядра

ΔW(C) = ,

а энергия связи нейтрона . Кроме того, испускание γ-кванта в этой области энергий налетающих нейтронов является преобладающим процессом распада составного ядра, так выброс нейтрона сильно затруднен из-за очень малого превышения энергии возбуждения составного ядра над энергией связи нейтрона. Поэтому Г_γ >>Г_n и полная ширина уровня Г = Г_γ + Г_n ≈ Г_γ ≈ const. С учетом этого и формулы (4.2) из (4.7.3) получим

,

так как

.

Задача 4.8

Выяснить с помощью формулы Брейта-Вигнера условия, при которых сечение радиационного захвата нейтронов подчиняется закону 1/v (см. пунктир на рис. 4.1)

Решение

Исследуем формулу (4.7.1) Брейта-Вигнера для сечения радиационного захвата, сделав следующие три предположения:

1. Т_n << Т₀;

2. Г_γ ≈ const;

3. Г_γ >>Г_n и полная ширина уровня Г = Г_γ + Г_n ≈ Г_γ ≈ const.

Возможность применения последних двух предположений обсуждены в предыдущей задаче.

Тогда

,

т.е.

.

Задача 4.9

Найти с помощью формулы (4.7.1) Брейта-Вигнера для сечения радиационного захвата нейтрона отношение σ_min/σ₀, где σ_min – минимальное сечение процесса (n,γ) в области T_n < T₀ (см. рис. 4.1); σ₀ – сечение этого процесса при T_n = T₀, если Г << Т₀.

Решение

Считая Г_γ ≈ const и Г ≈ const, из формулы (4.7.1) для сечения процесса радиационного захвата нейтрона получим

.

(4.9.1)

Для нахождения T_min продифферинцируем формулу (4.7.1) по T_n и результат приравняем нулю. После несложных преобразований получим квадратное уравнение

.

Из этого уравнения

,

так как Г << Т₀. Подставив полученное значение T_min в (4.9.1), получим

.

Задача 4.10

Какова должна быть толщина d кадмиевой пластинки, чтобы параллельный пучок тепловых нейтронов при похождении через нее уменьшился в 100 раз?

Решение

Пусть плотность потока параллельного пучка нейтронов, падающих на пластинку, есть Ф₀. По мере прохождения пластинки, плотность потока нейтронов будет уменьшаться вследствие захвата их ядрами кадмия. Выделим в пластинке на глубине х слой толщиной dx. Изменение плотности потока при прохождении слоя dx равно

,

где n – концентрация ядер поглотителя нейтронов; σ_а – сечение поглощения тепловых нейтронов.

Решение этого уравнения с граничным условием Ф(х = 0) = Ф₀ имеет вид

,

(4.10.1)

где d – толщина пластинки. Из (4.10.1) получим

.

(4.10.2)

Тепловые нейтроны эффективно захватываются только ядрами ¹¹³Cd, атомное содержание которого в природном кадмии составляет 12,26%. Сечение захвата тепловых нейтронов σ_а(¹¹³Cd) = 2·10⁴ б. Для вычисления d найдем концентрацию ядер ¹¹³Cd:

.

Окончательно,

.

Задача 4.11

В центре сферического слоя графита, внутренний и внешний радиусы которого R₁ = 1,0 см и R₂ = 10,0 см находится точечный источник нейтронов с кинетической энергией Т_n = 2 МэВ. Интенсивность источника I₀ =2,0·10⁴ с^-1. Сечение взаимодействия нейтронов данной энергии с ядрами углерода σ = 1,6 б. Определить плотность потока нейтронов Ф_n(R₂) на внешней поверхности графита, проходящих данный слой без столкновений.

Решение

Приступая к решению этой задачи, рекомендуется хорошо разобрать решение задачи 3.22. Построим элемент телесного угол dΩ с вершиной в точке нахождения источника (рис. 4.11.1). По определению, плотность потока нейтронов в точке R₂ будет равна

.

(4.11.1)

где – количество нейтронов, падающих со стороны графита на площадку dS в секунду, не испытавших рассеяния. Количество нейтронов, испущенных источником в телесный угол dΩ в одну секунду и падающих на внутреннюю поверхность слоя в точке R₁, составит

.

Так как часть нейтронов испытает рассеяние на ядрах углерода, то в соответствие с формулой (4.10.1), число нейтронов, не испытавших рассеяния и проходящих в секунду через площадку dS в точке R₂ составит

,

где n – концентрация ядер углерода.

Подставив полученное выражение в (4.11.1) и воспользовавшись определением (3.22.2) для элемента телесного угла, получим

.

Задача 4.12

Узкий пучок нейтронов с кинетической энергией 10 эВ проходит через счетчик длиной l = 15 см вдоль его оси. Счетчик наполнен газообразным BF₃ при нормальных условиях (бор природного изотопного состава). Определить эффективность регистрации нейтронов с данной энергией, если известно, что сечение реакции (n,α) подчиняется закону 1/v.

Решение

Эффективность ε регистрации частиц – одна из основных характеристик любого счетчика частиц, которая есть вероятность зарегистрировать ровно N частиц из N₀ вошедших в рабочий объем счетчика за время измерения. Для экспериментальной оценки величины ε используют соотношение

,

(4.12.1)

где N_p – число зарегистрированных частиц, а N₀– число частиц, попавших в рабочий объем детектора за время регистрации.

Непосредственная регистрация нейтронов данной энергии невозможна из-за крайне низкой кинетической энергии. Для регистрации используют экзоэнергетические реакции под действием нейтронов с образованием заряженных частиц, которые регистрируются обычными ионизационными методами. Одна из таких реакций

,

(4.12.2)

протекает только на нуклиде ¹⁰В. Сечение этой реакции в тепловой области (Т_n = 0,025 эВ) σ = 3813 б.

В соответствие с формулой (4.10.1) плотность потока нейтронов на выходе из детектора составит

,

а поглощенная в счетчике длиной d плотность потока

,

(4.12.3)

где Ф₀ – плотность потока нейтронов, входящих в счетчик через торцевую поверхность.

Если каждая α-частица, возникающая в реакции (4.12.2) оказывается зарегистрированной, то, согласно (4.12.1) и (4.12.3)

1,44·10^-2,

так как при нормальных условиях в 1 см³ идеального газа содержится L = 2,69·10¹⁹ молекул (число Лошмидта).

Задача 4.13

Небольшой образец ванадия ⁵¹V массой m = 0,5 г активируется до насыщения в поле тепловых нейтронов. Непосредственно после облучения в течение t = 5,0 мин было зарегистрировано = 8,0·10⁹ импульсов при эффективности регистрации ε = 1,0·10^-2. Определить концентрацию n_n нейтронов, падающих на образец.

Решение

В результате захвата тепловых нейтронов ядрами ⁵¹V образуется радиоактивный ⁵²V (сечение активации σ_акт= 4,5 б), который испускает β^--частицы и с периодом полураспада Т_1/2 = 3,26 мин превращается в стабильный нуклид ⁵²Cr.

Плотность потока нейтронов Ф_n может быть выражена через концентрацию нейтронов n_n и их среднюю скорость следующим образом:

.

(4.13.1)

Число импульсов, зарегистрированных за время t,

),

где N(t) – число ядер, испытавших за время t β^--распад, а N_a– число радиоактивных ядер при насыщении. Если воспользоваться формулой (2.3), то

.

(4.13.2)

Здесь q - скорость образования радиоактивных ядер ⁵²V, распад которых регистрируется.

По определению, число реакций в бесконечно малом объеме вещества мишени в единицу времени составляет

,

где n – концентрация ядер мишени; σ_акт- сечение активации; Ф_n – плотность потока нейтронов. Тогда скорость образования радиоактивных ядер в бесконечно малом объеме вещества мишени составит

.

Чтобы найти скорость q образования радиоактивных ядер во всем образце следует полученное выражение проинтегрировать по объему

,

который занимает вещество данной массы m и плотностью ρ:

,

(4.13.3)

если считать, что плотность потока нейтронов и сечение активации в пределах объема образца не изменяются (образец «тонкий»).

Покажем, что такое допущение имеет место. Длина пробега нейтронов до первого взаимодействия

,

что на много превышает характерные линейные размеры образца:

.

Окончательно из (4.13.1), (4.13.2) и (4.13.3) получим

= 7,4·10⁴ см^-3.

Задача 4.14

Какую долю η первоначальной кинетической энергии Т₀ теряет нейтрон при: а) упругом лобовом столкновении с первоначально покоившимися ядрами ²Н, ¹²С и ²³⁵U; б) упругом рассеянии под углом на первоначально покоившемся дейтоне, если угол = 30, 90 и 150º?

Решение

Доля энергии, теряемая нейтроном,

,

(4.14.1)

где и Р₀ - кинетическая энергия и импульс налетающего нейтрона; - кинетическая энергия и импульс нейтрона после рассеяния.

Решение задачи получим в ЛСК. Запишем закон сохранения энергии и импульса:

	(4.14.2)
,	(4.14.3)

.

(4.14.4)

Из (4.14.2), учитывая, что Т = P²/2m, получим

.

(4.14.5)

Подставив (4.14.5) в (4.14.4), после несложных преобразований, получим квадратное уравнение

.

Решение этого уравнения:

.

Окончательно

.

(4.14.6)

а) При лобовом столкновении с телом большей массы нейтрон отлетает назад и выражение (4.14.6) приобретает вид

.

(4.14.7)

Для А = 2 (²Н), 12 (¹²С) и 238 (²³⁸U) получим соответственно

.

б) При столкновении нейтрона с ядром ²H (А = 2) выражение (4.14.6) приобретает вид:

.

(4.14.8)

Для углов = 30, 90 и 150º получим соответственно

.

Задача 4.15

Нейтроны с кинетической энергией Т₀ упруго рассеиваются на ядрах с массовым числом А. Определить: а) энергию Т нейтронов рассеянных под углом в СЦИ; б) долю нейтронов, кинетическая энергия которых в результате однократного рассеяния лежит в интервале (Т, Т + dТ), если рассеяние в СЦИ изотропно.

Решение

а) Запишем закон сохранения энергии:

Т₀ = Т + Т_А,

где Т_А – кинетическая энергия ядра отдачи с массовым числом А.

Тогда

Для нахождения Т_А воспользуемся векторной диаграммой импульсов(рис. 4.15.1). По теореме косинусов

Но при упругом рассеянии величина импульса частиц в СЦИ не изменяется и по правилам построения импульсной диаграммы для упругого рассеяния

Тогда

и

Подставив полученное выражение для Т_А в (4.15.1), получим окончательно:

.

(4.15.2)

б)Если рассеяние нейтронов в СЦИ изотропно, то число нейтронов , рассеянных в единичный телесный угол в единицу времени, составит

,

где - полное число нейтронов, испытавших рассеяние по всем возможным направлениям. Доля нейтронов , рассеянных в единицу времени в элемент телесного угла ,

.

В сферической системе координат с центром в точке рассеяния

и

.

Так как рассеяние нейтронов в СЦИ по условия задачи сферически симметрично, то угол не зависит от полярного угла и

.

(4.15.3)

Связь между кинетической энергией рассеянного нейтрона и углом рассеяния в СЦИ дается формулой (4.15.2). Дифференцируя формулу (4.15.2), получим

.

Выразив из последнего выражения и подставив в (4.15.3), получим окончательно, что

,

(4.15.4)

а функция распределения рассеянных нейтронов по энергиям (энергетический спектр)

.

Таким образом, вероятность нейтрону иметь энергию от Т_minдо Т_max оказывается одинаковой. Минимальному значению энергии рассеянного нейтрона соответствует рассеяние назад ( ). Тогда из формулы (4.15.2) получаем

.

Максимальному значению энергии нейтрона в энергетическом спектре соответствует отсутствие взаимодействия с ядрами мишени, т.е. Т_max= Т₀. Этот же результат следует из формулы (4.15.2) при .

Энергетический спектр рассеянных нейтронов изображен на рис. 4.15.2.

Задача 4.16

Нейтроны испытывают рассеяние на первоначально покоившихся протонах. Считая это рассеяние изотропным в СЦИ, найти с помощью векторной диаграммы импульсов:

а) вероятность рассеяния нейтронов в интервале углов ;

б) долю нейтронов, рассеянных под углами ;

в) среднее значение угла рассеяния нейтронов в ЛСК.

Решение

Построим векторную диаграмму импульсов (рис. 4.16.1), не делая различия между массами протона и нейтрона.

а) В качестве оценки вероятности рассеяния нейтронов в интервале углов можно использовать (4.15.3), если установить функциональную связь между углами . Из векторной диаграммы

.

Следовательно

.

(4.16.1)

Тогда из (4.15.3) и (4.16.1)

.

(4.16.2)

б)Доля нейтронов, рассеянных под углами , составит

,

так как максимально возможный угол рассеяния нейтрона в данном случае составляет .

в) Среднее значение угла рассеяния нейтрона найдем обычным образом:

.