Поняття про критерії подібності. Кількість лінійно незалежних критеріїв подібності

В теорії подібності велике значення мають безрозмірні комплекси величин, які є добутком різних степенів цих величин. Їх називають критеріями подібності і позначають . Критерії подібності використовуються як параметри, так і змінні досліджуваної системи. Скільки незалежних між собою критеріїв можна утворити з розмірних величин? Незалежність величин означає, що

.

Будемо розглядати електромеханічні системи з їх основними одиницями , , , . Нехай задано величин . Тоді

Будь-який критерій подібності – це деяка комбінація величин :

.

Оскільки критерії подібності – величини нульової розмірності, то всі степені повинні бути рівні нулю, тобто:

. (3.1)

Таким чином, отримано систему з 4-х рівнянь, які містять невідомих . Як відомо, така система має лінійно незалежних розв’язків, де - ранг матриці системи (5.1). Кожний розв'язок дає змогу отримати один критерій подібності

. (3.2)

Ці незалежних критеріїв називають фундаментальними. Будь-який інший розв’язок системи (3.1) буде лінійно залежним та буде породжувати відповідний критерій подібності, який також буде залежним від фундаментальних критеріїв (3.2).

Отже, з заданих величин можна побудувати незалежних критеріїв подібності, де - ранг матриці системи (3.1). Причому ранг матриці не може бути більшим від кількості основних одиниць. Загальне правило визначення рангу можна сформулювати так: якщо серед заданих величин вибрано первинних з незалежними розмірностями, то , у протилежному випадку . Кількість незалежних критеріїв подібності можна зменшити шляхом збільшення числа основних одиниць вимірювання, але лише при умові, розмірний коефіцієнт, що з’являється при цьому, не входить в рівняння, що описують систему.

Поняття подібності

Конкретизуємо зміст понять, які розглядалися раніше в широкому змісті. Під системою будемо розуміти сукупність фізичних об’єктів (елементів системи), об’єднаних на основі деякої ознаки, що надає системі певні властивості. Будемо мати на увазі такі системи, стан яких є однозначною функцією станів окремих її елементів. Параметрами системи називатимемо величини, які характеризують її елементи і впливаючі на систему зовнішні фактори. Параметри дають змогу індивідуалізувати конкретний об’єкт з множини інших об’єктів тієї ж фізичної природи. Узагальненими координатами системи називають величини, які описують поведінку системи. Їх кількість рівна числу ступенів свободи системи.

З множини параметрів виділяємо мінімально можливу кількість параметрів, яких достатньо для однозначного визначення стану системи. Ці параметри є незалежними між собою і називаються основними (визначальними). Розглянемо дві системи однакової фізичної природи, які складаються з однакової кількості елементів, причому відповідні елементи в цих системах відіграють однакову роль. Одну систему назвемо модель, а іншу – оригінал. Кожна система визначається основними параметрами та має незалежних узагальнених координат . Узагальнені координати цих систем мають однакову функціональну залежність від параметрів:

, .

Дві системи називаються подібними, якщо будь-які дві відповідні узагальнені координати для будь-яких схожих моментів часу пропорційні, тобто:

,

де - коефіцієнт подібності, , , , - схожі моменти часу.

Таким чином, якщо відомо, що дві системи подібні і можна знайти коефіцієнти подібності , то знаючи поведінку однієї системи (моделі), можна визначити, як буде вести себе інша (натура).

Розглянемо ряд прикладів застосування теорії подібності. Зокрема, якщо для двох механічних систем, виконуються рівності: , , , то такі системи будуть кінематично подібні. Окрім того, якщо між точками систем має місце ще й матеріальна подібність, тобто , то такі системи будуть динамічно подібними. У цьому випадку, дуже легко встановити зв’язок між усіма кінематичними та динамічними характеристиками систем. Так, для швидкості:

, ,

для прискорень: ,

для сили: ,

для роботи: ,

для потужності: .

При наявності динамічної подібності коефіцієнти подібності різних величин виражаються через вихідні коефіцієнти подібності , , за допомогою формул розмірності цих величин.

Досить часто коефіцієнти подібності одних вторинних величин зручно виражати через коефіцієнти подібності інших вторинних величин. Так, наприклад,

.

Якщо густина відповідних частин обох систем однакова, тобто , то і . Якщо системи – дві динамічно подібні машини однакових розмірів (або одна і та ж машина в різних режимах роботи), тобто , , то , тобто прикладені до певних точок машини сили співвідносяться як квадрати швидкостей цих точок машини. Відношення потужностей у цьому випадку , тобто, якщо швидкість машини збільшиться вдвічі, то сили збільшаться у 4 рази, а потужність – у 8 разів.