Вероятность ошибки при оптимальной демодуляции двумерных сигналов цифровой модуляции

При анализе помехоустойчивости двумерных сигналов может возникнуть одна из двух ситуаций.

1. Линия, которая соединяет сигналы s_i и s_j, входящие в формулу (11.9), совпадает с одной из осей координат пространства сигналов. В этом случае вероятность ошибки в двоичной системе, использующей сигналы s_i и s_j, определяется формулой (11.6), как и в случае одномерных сигналов.

2. Линия, которая соединяет сигналы s_i и s_j, входящие в формулу (11.9), не совпадает ни с одной из осей координат пространства сигналов (рис. 12.1). На этом рисунке показаны шумовые компоненты оценок: и , где z_с и z_s – гауссовские независимые величины с нулевым средним и СКО – формула (5.14). На основе рис. 12.1 условие возникновения ошибки – вынесение решения о передаче , если было передано s_i

P_ош(s_i, s_j) = Р {h > d/2}, (12.1)

где h = z_с cos a +z_s cos (90°– a) гауссовская случайная величина. Ее дисперсия

. (12.2)

Таким образом, и в случае ситуации 2 вероятность ошибки (12.1) определяется формулой (11.6), как и в случае одномерных сигналов.

Упражнение 12.1. Найдем вероятность ошибки для многопозиционного двумерного сигнала ФМ-4 (рис. 12.2): координаты канальных символов ±а, а расстояния между ближайшими символами d = 2a. Энергии канальных символов одинаковые . Энергия сигнала на бит

. (12.3)

Из рис. 12.2 видно, что достаточно учесть переходы лишь в два ближайших канальных символа, поэтому, учитывая формулу (11.6)

. (12.4)

Учитывая формулы (11.10) и (12.4), получим выражение для вероятности ошибки двоичного символа при ФМ-4

. (12.5)

Упражнение 12.2. Найдем вероятность ошибки для многопозиционного сигнала ФМ-М. Точки сигнального созвездия находятся на окружности радиуса а с угловым шагом 2p/М. Ясно, что достаточно учесть переходы лишь в два ближайших канальных символа. На рис.12.3 приведен фрагмент сигнального созвездия сигнала ФМ-М. Выразим расстояние между ближайшими точками через радиус окружности. Поскольку d/2 = a×sin(p/M), то d = 2a sin(p/M). Энергии канальных символов одинаковые: Е = а². Энергия сигнала на бит определяется и расстояние .

Используя формулы (11.10) и (12.4), получим выражение для вероятности ошибки двоичного символа при ФМ-М для М ³ 4

. (12.5)

Упражнение 12.3. Найдем вероятность ошибки для многопозиционных двумерных сигналов КАМ-16 (рис. 12.4). Возьмем одну из четырех точек, которые размещены возле начала координат. Для любой из них видно, что достаточно учесть переходы лишь в четыре ближайших канальных символа, поэтому, учитывая формулу (11.6)

. (12.6)

Найдем среднюю энергию канального символа

Е_ср = (4×2а² + 8×10а² + 4×18а²)/16 = 10а². (12.7)

Энергия сигнала на бит определяется и расстояние .

Используя формулы (11.10) и (12.6), получим выражение для вероятности ошибки двоичного символа при КАМ-16

. (12.8)

Можно получить общую формулу вероятности ошибки бита для сигналов КАМ-М (М ³ 16) при условии, что log₂M является четным числом

. (12.9)

Упражнение 12.4. Найдем вероятность ошибки для двоичного сигнала ЧМ-2 (рис. 12.5): координаты канальных символов равны а, а расстояние между символами d = a. Энергии канальных символов одинаковые .

По формуле (11.6) получим

. (12.10)

Полученные в разд. 11 и 12 формулы позволяют определить вероятности ошибки бита р при заданном отношении сигнал/шум или необходимое отношение сигнал/шум при заданной вероятности ошибки бита. Анализ помехоустойчивости удобно проводить, используя графики зависимости р = f ( ) (рис. 12.6). При построении графика отношение сигнал/шум принято выражать в децибелах и использовать для него линейный масштаб. Для вероятности ошибки используют логарифмический масштаб.

Из приведенных на рис. 12.6 данных вытекает, что наивысшая помехоустойчивость свойственна сигналам ФМ-2 и ФМ-4.

Контрольные вопросы

1. Запишите и поясните формулы вероятности ошибки двоичного символа сигналов ФМ-4, ФМ-8, КАМ-16. Сравните помехоустойчивость.

2. Объясните, почему с ростом числа позиций сигнала ухудшается помехоустойчивость.