Фазоразностная модуляция

Устранить инверсную работу демодулятора ФМ-2 позволяет переход к разностному методу передачи, при котором передаваемые двоичные символы (биты) отображаются не в начальные фазы канальных символов (как при
ФМ-2), а в разность фаз соседних во времени канальных символов. Формирование модулированного сигнала таким способом называется фазоразностной модуляцией – ФРМ-2.

Принцип формирования и демодуляции сигналов ФРМ-2 отображен на рис. 14.1. Модулятор сигнала ФРМ-2 состоит из разностного кодера (РК) и модулятора сигнала ФМ-2, а демодулятор сигнала ФРМ-2 – из демодулятора сигнала ФМ-2 и разностного декодера (РД).

Разностный кодер модема ФРМ-2 работает по правилу

(14.1)

где b_k – бит 1 или 0 на входе кодера на k-ом тактовом интервале;

– символ 1 или 0 на выходе кодера на k-ом тактовом интервале;

Å – знак сложения по модулю 2.

Разностный декодер модема ФРМ-2 работает по правилу

(14.2)

где – символ 1 или 0 на входе разностного декодера на k-ом тактовом интервале;

– бит 1 или 0 на выходе разностного декодера на k-ом тактовом интервале.

Начальная фаза восстановленного несущего колебания в демодуляторе может совпадать с начальной фазой демодулируемого сигнала ФМ-2 или отличаться от нее на угол p. В общем виде можно записать, что фаза опорного колебания приобретает сдвиг p×p (p = 0 или 1 – значения, которые описывают сдвиг фазы). Считая, что помех в канале связи нет, символы на выходе демодулятора ФМ-2 будут определяться соотношением

(14.3)

для всех k. Подставив выражение (14.3) в формулу (14.1), легко убедиться, что бит не зависит от р.

Пример кодирования и декодирования произвольной последовательности бит приведен в табл. 14.1. Таблица иллюстрирует кодирование, начиная с k = 1. Поскольку при кодировании на k-ом тактовом интервале принимает участие предыдущий кодированный символ, то во второй строке произвольно принято = 0. Строка 3 повторяет строка 2 – демодуляция без обратной работы. Результат декодирования приведен в строке 4. Строка 5 содержит инверсию строки 2 – демодуляция с обратной работой. После декодирования восстановленный сигнал (строка 6) совпадает с исходным сигналом (строка 1). Таким образом, передача с разностным кодированием устраняет обратную работу демодулятора ФМ-2.

В случае М-ой фазовой модуляции по той же причине, что и в случае ФМ-2, имеет место неопределенность фазы порядка 2p/М. Аналогично ФРМ-2 информация отображается в разность фаз соседних канальных символов и имеет место ФРМ-М. При М > 2 разностный кодер и декодер работают из М-ми символами. Переход от бит цифрового сигнала к М-ым канальным символам происходит в кодере модуляционного кода.

При передаче цифровых сигналов сигналами ФМ-4 используются 4 канальных символа

, (14.4)

где q_i – четверичные символы, принимающие значения 0, 1, 2, 3;

– начальные фазы канальных символов, принимающие значения p/4, 3p/4, 5p/4, 7p/4.

Начальная фаза восстановленного в демодуляторе опорного колебания однозначно определенной быть не может – она определяется с точностью до p/2. Это обусловлено симметрией сигнального созвездия ФМ-4: при демодуляции неизвестно, какой из четырех сигналов считать “нулевым”.

Чтобы устранить влияние неопределенности фазы опорного колебания при демодуляции сигнала ФМ-4, переходят к модуляции ФРМ-4. Принцип формирования и демодуляции сигналов ФРМ-4 отображен на рис. 14.2. Модулятор сигнала ФРМ-4 состоит из кодера модуляционного кода, разностного кодера и модулятора сигнала ФМ-4, а демодулятор сигнала ФРМ-4 – из демодулятора сигнала ФМ-4, разностного декодера и декодера модуляционного кода. На этом рисунке и ниже по тексту нижний индекс k определяет номер тактового интервала, а сдвиг q может принимать значения 0, 1, 2 и 3.

Разностный кодер при ФРМ-4 реализует правило кодирования четверичных символов:

(14.5)

где Å – сложение по модулю 4 (остаток от деления на 4 арифметической суммы слагаемых).

Разностный декодер реализует правило декодирования четверичных символов:

y , (14.6)

где y – вычитание по модулю 4 (остаток от деления разности на 4).

Начальная фаза опорного колебания в демодуляторе может совпадать с начальной фазой демодулируемого сигнала ФМ-4 или отличаться от нее на угол p×p/2 (p = 0, 1, 2 или 3 – значение, описывающее сдвиг фазы). Считая, что помехи в канале связи нет, символы на выходе демодулятора ФМ-4 будут определяться соотношением

(14.7)

для всех k. Таким образом, из-за неопределенности фазы когерентного колебания в демодуляторе сигнала ФМ-4 все символа получают приращение p. Если подставить выражение (14.7) в формулу (14.6), то легко убедиться, что символ не зависит от р.

При ФРМ-4 благодаря вычитанию в декодере значения p неопределенность фазы снимается. Поскольку для исключения неопределенности фазы значение определяется как разность двух соседних символов, то при кодировании значение формируется как сумма предыдущего значения и передаваемого символа q_k.

Правила сложения по модулю 4 приведены в табл. 14.2, а правила вычитания по модулю 4 – в табл. 14.3.

При передаче цифрового сигнала сигналом ФМ-4 переход от пар бит b₁b₂ к четверичным символам q на каждом тактовом интервале осуществляется согласно модуляционному коду Грея, пример которого приведен в табл. 14.4.

Поскольку при демодуляции сигнала ФМ-4 наиболее вероятные ошибки – это переходы в ближайшие сигналы, то при использовании кода Грея такие переходы приводят к ошибке лишь в одном бите, и, тем самым, минимизируется вероятность ошибки бита.

В табл. 14.5 приведен пример кодирования и декодирования при передаче цифрового сигнала методом ФРМ-4. Принято, что значение p = 3, а = 1. Переход от пар бит к четверичным символам осуществляется согласно табл. 14.4. Из данных табл. 14.5 вытекает, что принятые биты совпадают с переданными.

Предположим, что из-за действия помехи демодулятор ФМ-2 выносит ошибочное решение на k-м тактовом интервале. Каждый символ, поступающий на вход разностного декодера, при декодировании используется дважды – на k-м и на (k + 1)-м тактовых интервалах. Поэтому, если решение демодулятора на (k – 1)-м и на (k + 1)-м тактовых интервалах верные, то на выходе разностного декодера появятся два ошибочных бита. Итак, разностный декодер размножает ошибки.

Вероятность ошибки бита при передаче методами ФРМ-2 и ФРМ-4 в области малых значений вероятности ошибки (р << 1) запишется

. (14.8)

На завершение рассмотрения ФРМ-М отметим, что в русскоязычной литературе такой способ передачи называют также относительной фазовой модуляцией ОФМ-М).

Таблица 14.5 – Пример разностного кодирования и декодирование четверичных символов

Номер тактового интервала k
Последовательность переданных бит
Последовательность символов qk
Последовательность символов
Последовательность символов
Последовательность символов
Последовательность принятых бит

Контрольные вопросы

1. Объясните принцип формирования и демодуляции сигнала ФРМ-2.

2. Объясните принцип формирования и демодуляции сигнала ФРМ-4.

3. Как определяется помехоустойчивость систем передачи методами ФРМ-2 и ФРМ-4?