Вероятность ошибки при оптимальной демодуляции одномерных сигналов цифровой модуляции

Как отмечалось в разд. 2, критерием оптимальности демодулятора является минимум полной вероятности ошибки решения относительно канального символа Р_ош. Но для пользователей количественной мерой помехоустойчивости цифровой системы передачи является вероятность ошибки бита р. В двоичных системах передачи вероятности Р_ош и р совпадают. В случае многоуровневых видов модуляции сначала находят Р_ош, затем рассчитывают р, зная модуляционный код.

В.А. Котельников ввел термин «потенциальная помехоустойчивость приема» – это максимальная помехоустойчивость, которую обеспечивает оптимальный демодулятор. В сущности, это помехоустойчивость используемого модулированного сигнала при заданных характеристиках канала связи.

Анализ вероятности ошибки начнем из рассмотрения одномерных двоичных сигналов. Воспользуемся результатами, полученными в разд. 2. На рис. 2.1, б для одномерного двоичного сигнала показаны сигнальное созвездие и условные плотности вероятности оценки . Было сформулировано правило вынесения решения по результатам сравнения оценки с граничным значением l: если > l, то передавался символ s₁(t), а если < l, то передавался символ s₀(t). Оптимальное значение l находится посредине между а₁ и а₀:

l = 0,5(а₁ + а₀). (11.1)

При этом вероятности ошибок при передаче сигналов s₀(t) и s₁(t) одинаковы и определяются выражением

. (11.2)

Условная плотность вероятности имеет нормальное распределение вероятностей со средним значением равным a₀. С учетом этого (11.2) запишется

, (11.3)

где s_z – СКО шума на выходе согласованного фильтра, определенное раньше соотношением (5.14).

Примем в рассмотрение расстояние между сигналами

d = (а₁ – а₀). (11.4)

Из соотношений (11.1) и (11.4) получим

l = а₀ + 0,5d (11.5)

С учетом (5.14) и (11.5) соотношение (11.3) дает вероятность ошибки канального символа в двоичной системе передачи

. (11.6)

Из определения гауссовой Q-функции вытекает, что, чем большее значение аргумента, тем меньшее значение функции Q(z). Вероятность ошибки канального символа (11.6) будет уменьшаться при увеличении расстояния между сигналами d и уменьшении удельной мощности шума N₀ на входе демодулятора.

Дальше задача заключается в том, чтобы выразить расстояние между сигналами в (11.6) через физические параметры сигнала, действующего на входе демодулятора. Такими параметрами являются: средняя мощность модулированного сигнала P_s и скорость цифрового сигнала R или обратная к ней величина – длительность двоичного символа Т_б = 1/R.

Упражнение 11.1. Найдем вероятность ошибки для одномерных двоичных сигналов ФМ-2 и АИМ-2. На рис. 11.1 приведены сигнальные созвездия сигналов ФМ-2 и АИМ-2. Поскольку базисная функция нормирована, то выполняется равенство (5.12), и Е_б = а². Отсюда d = 2а = 2 . Вероятность ошибки бита определяется

, (11.7)

где – отношение сигнал/шум.

Упражнение 11.2. Найдем вероятность ошибки для двоичного сигнала АМ-2. На рис. 11.2 приведено сигнальное созвездие сигнала АМ-2. Поскольку базисная функция нормирована, то выполняется равенство (5.12), и Е₁ = а², а Е₀ = 0. Е_б = 0,5(Е₁ + Е₀) = 0,5а². Отсюда d = а = .

Вероятность ошибки бита определяется

. (11.8)

Перейдем к многопозиционным системам передачи, т.е. М > 2. Если канальные символы равновероятны, то вероятность ошибки канального символа определяется

. (11.9)

где P_ош(s_i, s_j) – вероятность ошибки в двоичной системе, использующей сигналы s_i и s_j, а ошибка состоит в вынесении решения о передаче , если было передано s_i. Чтобы упростить расчеты, учитывают переходы лишь в ближайшие сигналы (это допустимо при высоких отношениях сигнал/шум, которые соответствуют вероятности ошибки Р_ош < 10^–2). Переход от ошибки канального символа Р_ош к ошибке двоичного символа р выполняется легко, если используется модуляционный код Грея:

. (11.10)

Упражнение 11.3. Найдем вероятность ошибки для многопозиционных одномерных сигналов АМ-М и АИМ-М. На рис. 11.3 приведены сигнальные созвездия сигналов АМ-4 и АИМ-4. Аналогично строятся созвездия при М > 4. Задачу будем решать для произвольного М (М – целая степень числа 2).

Коэффициенты а_і принимают значение . Определим среднюю энергию канального символа

. (11.11)

Учтем, что

d = 2a и . (11.12)

На основе (11.11) и (11.12) получим выражение для квадрата расстояния

. (11.13)

При анализе вероятности ошибки достаточно учесть переходы лишь в ближайшие канальные символы, поэтому

. (11.14)

Учитывая (11.10), (11.13) и (11.14) получим выражение вероятности ошибки двоичного символа

. (11.15)

Контрольные вопросы

1. Запишите и объясните формулу вероятности ошибки канального символа в двоичной системе передачи.

2. Объясните, что представляет собой величина .

3. Объясните, какие упрощения допускают при анализе помехоустойчивости многопозиционных сигналов.