Главные направления и кривизны поверхности

Исследуем теперь вопрос, как меняется нормальная кривизна в зависимости от направления её вектора скорости. Как и для всякой квадратичной формы, для второй квадратичной формы найдётся ортонормированный базис в касательной плоскости, в котором форма имеет диагональный вид .

Определение 3.5. Направления, задаваемые векторами этого базиса, называются главными направлениями, а числа – главными кривизнами.

Определение 3.6. Произведение называется гауссовой или полной кривизной поверхности в данной точке, полусумма – средней кривизной.

Знание главных кривизн и главных направлений позволяет найти нормальную кривизну в произвольном направлении по формуле

,

где – угол между данным направлением и направлением первого базисного вектора (формула Эйлера).

Из формулы Эйлера следует экстремальное свойство главных направлении: это те направления, где нормальная кривизна принимает наибольшее или наименьшее значение. Это свойство помогает находить главные направления: вектор с координатами du, dv задаёт главное направление, если выполнено условие:

.

Главные кривизны ищутся из условия , т.е. из уравнения .